Quasi-grupa współrzędnych sieci

Quasi-grupa $Q$ jest quasi-grupą współrzędnych sieci ${\mathcal {S}}=(P,L^{1},L^{2},L^{3}),$ jeśli:

• zbiór $Q$ jest równoliczny z każdym ze zbiorów $L^{1},$ $L^{2}$ i $L^{3},$
• ustalone są trzy funkcje różnowartościowe $l^{i}:Q\to L^{i},$ $l^{i}(Q)=L^{i};$ zapisuje się je jako indeksacje $l^{i}(q)=l_{q}^{i}=$ dla $q\in G,$
• $ab=c$ wtedy i tylko wtedy, gdy przez punkt przecięcia krzywych $l_{a}^{1}\in L^{1},l_{b}^{2}\in L^{2}$ przechodzi krzywa $l_{c}^{3}\in L^{3}$.

Krzywą $l_{q}^{i}$ oznacza się także za pomocą pary uporządkowanej $(i,q)$.

Konstrukcja sieci dla danej quasi-grupy

Dla danej quasi-grupy $Q$ punkty zbioru $P$ można utożsamić ze zbiorem par uporządkowanych $(a,b):a,b\in Q,$ a krzywe $L^{i}$ ze zbiorami $L^{i}=\{(i,a):a\in Q$ dla $i=1,2,3.$ Incydencję definiuje się wtedy następująco: punkt $(a,b)$ jest incydentny z krzywymi (liniami): $(1,a),$ $(2,b)$ i $(3,ab).$ Quasi-grupa $Q$ jest wtedy quasi-grupą współrzędnych sieci ${\mathcal {S}}=(P,L^{1},L^{2},L^{3})$.

Własności

• Quasi-grupa współrzędnych sieci ${\mathcal {S}}$ zależy od wybranych indeksacji prostych każdej rodziny. Jeśli zmieni się indeksację (stosując dla każdej rodziny permutację zbioru $Q$), to w wyniku uzyska się różne quasi-grupy.
• Przy odpowiedniej zmianie indeksacji krzywych sieci jej quasi-grupa współrzędnych jest pętlą.
• Dwie quasi-grupy współrzędnych tej samej sieci są izotopijne.
• Wszystkie quasi-grupy współrzędnych danej sieci o quasi-grupie $G$ są z dokładnością do izomorfizmu klasą wszystkich izotopijnych quasi-grup określonych na zbiorze $G$.

Bibliografia

• Aleksander Gienadiewicz Kurosz: Algebra ogólna. Wykłady z lat 1969–1970. Moskwa: Nauka, 1974. (ros.). Brak numerów stron w książce
• Walentin Daniłowicz Biełousow: Podstawy teorii quasi-grup i pętli. Moskwa: Nauka, 1967. (ros.). Brak numerów stron w książce