Równowaga i równoważność

Równowaga i równoważność – bliskoznaczne pojęcia mechaniki teoretycznej dotyczące działania układu sił skupionych na idealnie sztywne ciała fizyczne. Mówimy, że dwa różne układy sił są równoważne, gdy ich działanie na to samo ciało, w tych samych warunkach, wywołuje identyczne skutki. Jeżeli to działanie jest zerowe, mamy do czynienia ze stanem równowagi ciała. W tym stanie siły działające na ciało równoważą się, tzn. pozostają w równowadze.

Redukcja układu sił do punktu

W przypadku ogólnym dowolny układ sił skupionych $\mathbf {\vec {F}} _{i}$ działających na ciało nieskończenie sztywne w przestrzeni fizycznej, można zredukować równoważnie do dwu wektorów.

Pierwszy z tych wektorów to tzw. wektor główny układu $\mathbf {\vec {F}} ,$ który jest określony wzorem

(1)${}\quad \mathbf {\vec {F}} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {\vec {F}} _{i}.$

Ze wzoru tego wynika, że ten wektor nie zależy od tego jaki punkt obieramy za biegun redukcji układu sił.

Natomiast drugi wektor $\mathbf {\vec {M}} ,$ tzw. główny wektor momentu układu, może być obliczony tylko wówczas, kiedy znany jest biegun redukcji $0$ określony jego współrzędnymi w przyjętym układzie współrzędnych $0xyz.$ Najczęściej przyjmuje się, że biegun ten pokrywa się z początkiem $0$ układu. W tym przypadku wektor $\mathbf {\vec {M}}$ jest określony wzorem

(2)${}\quad \mathbf {\vec {M}} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {\vec {M}} _{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {\vec {r}} _{i}\times \mathbf {\vec {F}} _{i},$

w którym $\mathbf {\vec {r}} _{i}$ jest wektorem wodzącym początku wektora $\mathbf {\vec {F}} _{i}.$

Wektory $\mathbf {\vec {F}}$ i $\mathbf {\vec {M}}$ otrzymane w wyniku równoważnej redukcji wyjściowego układu sił do punktu $0$ są najprostszym równoważnikiem tego układu.

Opisany sposób redukcji dowolnego układu sił skupionych został dokonany przy arbitralnie przyjętym położeniu bieguna $0,$ od przyjęcia którego zależy wektor główny $\mathbf {\vec {M}}$ momentu układu. Powstaje więc pytanie, w jaki sposób zmiana położenia bieguna wpływa na wynik redukcji danego układu sił.

Ze wzoru (1) wynika, że wektor główny $\mathbf {\vec {F}}$ nie zależy od położenia bieguna i nie zmienia ani swojej normy, ani kierunku. Ten wektor jest więc (pierwszym) niezmiennikiem zmiany położenia bieguna $0.$ Okazuje się, że istnieje jeszcze drugi niezmiennik tej zmiany. Jest nim iloczyn skalarny $\mathbf {\vec {F}} \cdot \mathbf {\vec {M}} _{0}=\mathbf {\vec {F}} \cdot \mathbf {\vec {M}} _{C}=\mathrm {const} .$ Niezmienniczość tę można łatwo wykazać.

Rys. 1 – redukcja układu sił do skrętnika

Niech nowym biegunem redukcji będzie punkt $C$ o wektorze wodzącym $\mathbf {\vec {0C}} .$ Wektory $\mathbf {\vec {F}}$ i $\mathbf {\vec {0C}}$ wyznaczają płaszczyznę $\pi .$ Redukcja do punktu $0$ prowadziła do uzyskania wektorów $\mathbf {\vec {F}}$ i $\mathbf {\vec {M_{0}}} ,$ a redukcja do punktu $C$ – do uzyskania wektorów $\mathbf {\vec {F}}$ i $\mathbf {\vec {M_{C}}} .$ Pomiędzy tymi wektorami zachodzi prosty związek

$\mathbf {\vec {M_{C}}} =\mathbf {\vec {M_{0}}} -\mathbf {\vec {0C}} \times \mathbf {\vec {F}} .$

Mnożąc skalarnie ten związek przez $\mathbf {\vec {F}} ,$ otrzymujemy

$\mathbf {\vec {F}} \cdot \mathbf {\vec {M_{C}}} =\mathbf {\vec {F}} \cdot \mathbf {\vec {M_{0}}} -\mathbf {\vec {F}} \cdot (\mathbf {\vec {0C}} \times \mathbf {\vec {F}} )=\mathbf {\vec {F}} \cdot \mathbf {\vec {M_{0}}} =\mathrm {const} .$

Można teraz postawić pytanie: gdzie powinien znaleźć się punkt $C$ tak, aby było

$\mathbf {\vec {0C}} \times \mathbf {\vec {F}} =\mathbf {\vec {m}} .$

Biorąc pod uwagę prostopadłość wektorów, otrzymujemy:

${\overline {0C}}^{*}\!\!={\frac {|\mathbf {\vec {m}} |}{|\mathbf {\vec {F}} |}}.$

Odległość tę odmierzamy w kierunku wyznaczonym przez wektor $\mathbf {\vec {F}} \times \mathbf {\vec {M}} _{0}.$ Wektor $\mathbf {\vec {M}} _{S}$ określa wzór

$\mathbf {\vec {M}} _{S}=\mathbf {\vec {M}} _{0}-\mathbf {\vec {m}} =\mathbf {\vec {M}} _{0}-\mathbf {\vec {0C}} ^{*}\!\!\times \mathbf {\vec {F}} .$

Redukcja układu sił do tak wyznaczonego punktu $C$ pozwala wyznaczyć dwa wektory: wektor główny $\mathbf {\vec {F}}$ i tzw. skrętnik układu $\mathbf {\vec {M}} _{S}$ (rys. 1).

Redukcja analityczna

Rozważmy w trójwymiarowej przestrzeni fizycznej nieskończenie sztywną bryłę materialną, na którą działa w sposób statyczny skończona liczba sił skupionych. Analityczny opis działania tych sił wymaga podania współrzędnych każdej siły $\mathbf {\vec {F}} _{i}$ i jej wektora wodzącego $\mathbf {\vec {r}} _{i}\equiv {\vec {0A_{i}}}$ liczonego od początku $0$ przyjętego układu współrzędnych kartezjańskich $0xyz$ do punktu $A_{i}$ przyłożenia siły $\mathbf {\vec {F}} _{i}.$ Przyjmiemy zatem, że

$\mathbf {\vec {F}} _{i}=[X_{i}\ Y_{i}\ Z_{i}],\quad \mathbf {\vec {r}} _{i}=[x_{i},y_{i},z_{i}],\quad i=1,2,\dots ,n.$

W rozważanym przypadku układ sił sprowadzamy do wektora głównego $\mathbf {\vec {F}}$ i momentu głównego $\mathbf {\vec {M}}$ liczonego względem punktu $0,$ przy czym

(1a)${}\quad \mathbf {\vec {F}} =[F_{x},F_{y},F_{z}],\qquad \mathbf {\vec {M}} =[M_{x},M_{y},M_{z}]$

(1b)${}\quad \mathbf {\vec {F}} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {\vec {F}} _{i},\quad \mathbf {\vec {M}} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {\vec {M}} _{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {\vec {r}} _{i}\times \mathbf {\vec {F}} _{i}.$

Wzory (1) rozpisane we współrzędnych przybierają postać sześciu formuł

(2a)${}\quad F_{x}=\sum _{i=1}^{n}X_{i},\quad F_{y}=\sum _{i=1}^{n}Y_{i},\quad F_{z}=\sum _{i=1}^{n}Z_{i},$

(2b)${}\quad M_{x}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}Z_{i}-z_{i}Y_{i}),\quad M_{y}=\sum _{i=1}^{n}(z_{i}X_{i}-x_{i}Z_{i}),$

(2c)${}\quad M_{z}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}Y_{i}-y_{i}X_{i}).$

Warunki równowagi układu można teraz zapisać albo wektorowo

(3)${}\quad \mathbf {\vec {F}} =\mathbf {0} \quad {}$ i ${}\quad \mathbf {\vec {M}} =\mathbf {0} ,$

albo we współrzędnych

(4)${}\quad F_{x}=F_{y}=F_{z}=M_{x}=M_{y}=M_{z}=0,$

korzystając ze wzorów (2).

Interpretacje graficzne

Przedstawimy teraz metody graficzne rzadziej stosowane, a ponadto trudniejsze w realizacji analitycznej. Celem prezentacji jest pokazanie różnych wariantów redukcji ogólnych układów sił do prostszych równoważników.

Metoda 1

Dane są wektory $\mathbf {\vec {F}}$ i $\mathbf {\vec {M}}$ otrzymane w wyniku redukcji pewnego układu sił do dowolnie obranego punktu $0.$ Te dwa wektory można teraz zredukować równoważnie do dwóch sił $\mathbf {\vec {P}} _{1}$ i $\mathbf {\vec {P}} _{2}$ nie leżących w jednej płaszczyźnie. O takich siłach możemy powiedzieć, że tworzą dwójkę zwichrowaną (wichrowatą).

Rys. 2 – redukcja układu sił do „dwójki zwichrowanej” $P_{1},P_{2}$

W tym celu przez punkt $0$ prowadzimy płaszczyznę $\pi$ prostopadłą do wektora $\mathbf {\vec {M}} .$ Na płaszczyźnie tej umieszczamy parę sił $\mathbf {\vec {S}}$ o momencie równym $\mathbf {\vec {M}}$ i tak aby punkt $0$ leżał na linii działania jednej z nich. Sumujemy dwa współśrodkowe wektory $\mathbf {\vec {S}}$ i $\mathbf {\vec {F}}$ i otrzymujemy w ten sposób dwa wektory $\mathbf {\vec {P}} _{1}$ i $\mathbf {\vec {P}} _{2}$ nie leżące na jednej płaszczyźnie, czyli zwichrowane i równoważne dwom wektorom wyjściowym $\mathbf {\vec {F}}$ i $\mathbf {\vec {M}} .$

Metoda 2

Opiszemy teraz inny sposób redukcji dowolnego układu sił $\mathbf {\vec {F}} _{i},\;i=1,2,3,\dots n,$ działających na ciało idealnie sztywne, do równoważnego układu trzech sił $\mathbf {\vec {W}} _{1},\mathbf {\vec {W}} _{2},\mathbf {\vec {W}} _{3}$ działających w punktach $0_{1},0_{2},0_{3}$ nie leżących na jednej prostej.

Siły skupione $\mathbf {\vec {F}} _{i}$ działają na ciało w punktach $A_{i}.$ Jeżeli teraz przez każdy punkt $A_{i}$ poprowadzimy trzy proste wyznaczone przez odcinki ${\overline {0_{1}A_{i}}},{\overline {0_{2}A_{i}}},{\overline {0_{3}A_{i}}},$ to każdą z sił $\mathbf {\vec {F}} _{i}$ można rozłożyć na trzy składowe $F_{1i},F_{2i},F_{3i}$ przechodzące przez punkty $0_{1},0_{2},0_{3}$ według reguły równoległościanu zbudowanego na wierzchołkach $A_{i},0_{1},0_{2},0_{3}.$ Te składowe można przesunąć po liniach ich działania odpowiednio do punktów $0_{1},0_{2},0_{3}.$ W ten sposób w punktach $0_{1},0_{2},0_{3}$ utworzone zostają trzy pęki po $n$ sił koncentrycznych, które można zesumować, otrzymując trzy poszukiwane wektory $\mathbf {\vec {W_{1}}} ,\mathbf {\vec {W_{2}}} ,\mathbf {\vec {W_{3}}} .$

Na to, aby układ pozostawał w równowadze, muszą być spełnione warunki

$\mathbf {\vec {W}} =\mathbf {\vec {W_{1}}} +\mathbf {\vec {W_{2}}} +\mathbf {\vec {W_{3}}} =\mathbf {0} ,$

$\mathbf {\vec {M}} =\mathbf {\vec {r}} \times \mathbf {\vec {W}} =\mathbf {\vec {r}} _{1}\times \mathbf {\vec {W_{1}}} +\mathbf {\vec {r_{2}}} \times \mathbf {\vec {W_{2}}} +\mathbf {\vec {r_{3}}} \times \mathbf {\vec {W_{3}}} =\mathbf {0} .$

Metoda 3

Jako trzeci ze sposobów redukcji można przytoczyć postępowanie opisane w pkt. 1. Dodatkowo trzeba tu podkreślić, że wyznaczony tam punkt $0$ może być przesuwany po prostej równoległej do osi $0z$ układu współrzędnych. Prosta ta nosi nazwę osi centralnej układu.