Funkcja Dirichleta: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
LaaknorBot (dyskusja | edycje) m robot dodaje: sv:Dirichlets funktion |
dodano link do funkcji specjalnej eta Dirichleta, dodano definicję, dodano własność |
||
Linia 1:
{{DisambigR | 1=funkcji charakterystycznej liczb rzeczywistych|2=[[Funkcja eta|funkcja eta Dirichleta]]}}
'''Funkcja Dirichleta''' – [[funkcja charakterystyczna zbioru|funkcja charakterystyczna]] [[zbiór|zbioru]] [[liczba wymierna|liczb wymiernych]].
Linia 8 ⟶ 9:
0, & \mbox{gdy } x \notin \mathbb Q
\end{cases}</math>
Inna definicja:
:<math>\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}\left(m!\pi x\right)</math>
Funkcja ta ma szczególne własności:
*jest wszędzie nieciągła (tzn. nie jest [[funkcja ciągła|ciągła]] w żadnym punkcie swojej dziedziny),
*jest [[funkcja okresowa|okresowa]], ma przy tym nieskończenie wiele okresów (każda liczba wymierna jest jej okresem) i nie ma okresu podstawowego,
*nie jest różniczkowalna,
*nie jest [[funkcja całkowalna|całkowalna]] w sensie Riemanna – w zależności od doboru podziału przedziału całkowania, aproksymacja prostokątami może dać dowolną sumę od zera do długości przedziału, zatem [[granica ciągu|granica]] definiująca [[całka Riemanna|całkę Riemanna]] nie istnieje,
*jest jednak całkowalna w sensie Lebesgue'a – przy czym jej [[całka Lebesgue'a]] na dowolnym przedziale równa jest [[zero|zeru]], ponieważ zerowa jest [[miara Lebesgue'a]] zbioru liczb wymiernych.
| |||