Równanie rekurencyjne: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne merytoryczne |
drobne merytoryczne + przykład |
||
Linia 21:
Jeżeli nie ma ono pierwiastków podwójnych, wówczas
: <math>a_n =
Jeżeli natomiast równanie charakterystyczne ma pierwiastek podwójny, to
: <math>a_n = (C
''C'' i ''D'' są dowolnymi stałymi a <math>r_1</math> i <math>r_2</math> są pierwiastkami równania charakterystycznego. Jeżeli dane jest <math>a_{1}</math> i <math>a_{2}</math> wówczas można łatwo ułożyć układ równań i otrzymać ich wartość.
== Przykład ==
Następujący przykład jest rozwiązanie [[Ciąg Fibonacciego|Ciągu Fibonacciego]]:
: <math>a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2} \,</math>
Warunki początkowe:
: <math>a_{0}=0, a_{1}=1\,</math>
Równanie charakterystyczne ma następującą postać:
: <math>r^2-r-1=0</math>.
Pierwiastki tego równania są następujące:
: <math>r_1={1+\sqrt{5}\over 2}; r_2={1-\sqrt{5}\over 2}</math>.
Pierwiastki są różne zatem:
: <math>a_n = Ar_1^n+Br_2^n \,</math>
Korzystając z warunków początkowych układamy układ równań:
: <math>\begin{cases} a_{0} = 0: A + B = 0, \\ a_{1} = 1: Ar_1 + Br_2 = 1 \end{cases}</math>
Z rozwiązania tego układu wynika:
: <math>A={1\over \sqrt{5}}; B=-{1\over \sqrt{5}}</math>.
Co po podstawieniu <math>A</math> i <math>B</math> do wzoru na <math>a_n</math> otrzymujemy tzw. wzór Bineta:
: <math>a_n = \frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1 + \sqrt 5}{2}\right)^n - \frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1 - \sqrt 5}{2}\right)^n</math>
=== Zobacz też ===
| |||