Wersja z 12:45, 15 paź 2012 edytuj Konradek (dyskusja \| edycje) 12 936 edycji m drobne techniczne ← poprzednia edycja		Wersja z 12:46, 15 paź 2012 edytuj anuluj edycję Konradek (dyskusja \| edycje) 12 936 edycji propozycja integracji następna edycja →
Linia 1: {{integruj doz\|~~sfera~~płaszczyzna ~~Riemanna~~zespolona domknięta}} [[Plik:Stereographic projection in 3D.png\|thumb\|250px\|Sferę Riemanna można zobrazować jako [[rzut stereograficzny]] płaszczyzny zespolonej]] Płaszczyznę zespoloną domkniętą <math>\overline{\mathbb{C}}</math> można uzyskać, uzupełniając [[Płaszczyzna zespolona\|płaszczyznę zespoloną]] punktem oznaczanym przez <math>\infty</math><ref>{{cytuj książkę\|autor=Jan Krzyż \|autor2=Julian Ławrynowicz \|tytuł=Elementy analizy zespolonej \|wydawca=WNT \|miejsce=Warszawa \|rok=1981 \|strony=12 \|isbn=83-204-0239-5 }}</ref>. W tak zdefiniowanym zbiorze określa się [[przestrzeń topologiczna\|topologię]], której [[baza przestrzeni topologicznej\|bazą zbiorów otwartych]] jest suma zbioru kół otwartych w płaszczyźnie zespolonej i sum dopełnień kół domkniętych w płaszczyźnie zespolonej i zbioru <math>\{\infty\}</math>: '''Sfera Riemanna''' – w matematyce, [[sfera]] otrzymana z [[Płaszczyzna zespolona\|płaszczyzny zespolonej]] przez dodanie [[Geometria rzutowa\|punktu w nieskończoności]]. Sfera jest geometryczną prezentacją '''rozszerzonego zbioru liczb zespolonych''' <math>\scriptstyle \C\ \cup\ \{ \infty \}</math>, który zawiera wszystkie [[liczby zespolone]] oraz symbol ∞ do reprezentowania [[Nieskończoność\|nieskończoności]]. Nazwa pochodzi od matematyka z XIX wieku [[Bernhard Riemann\|Bernharda Riemanna]]. :<math>\mathfrak{B} = \bigcup_{a \in \mathbb{C}, r \in \mathbb{R}_+}\{z \in \mathbb{C}: \|z - a\| < r\} \cup \bigcup_{a \in \mathbb{C}, r \in \mathbb{R}_+} \bigg(\mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C}: \|z - a\| \leqslant r\} \cup \infty\bigg)</math>. Zgodnie z tak zwanym [[uzwarcenie\|twierdzeniem Aleksandrowa]] tak określona przestrzeń topologiczna jest [[przestrzeń zwarta\|przestrzenią zwartą]] (bo płaszczyzna zespolona jest [[przestrzeń lokalnie zwarta\|lokalnie zwarta]])<ref>{{cytuj książkę\| autor=П. С. Александров \|autor2=П. С. Урысон \|tytuł=Мемуар о компактных топологических пространствах \|strony=88-89\|rok=1971 \| wydawca=Наука \| miejsce=Москва}}</ref> Tak określona przestrzeń topologiczna jest [[homeomorfizm\|homeomorficzna]] ze sferą w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej <math>\mathbb{R}^3 = \{(\xi, \eta, \zeta):\xi, \eta, \zeta \in \mathbb{R}\}</math> określoną wzorem: ~~:<math>\{(\xi, \eta, \zeta):\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 - \zeta = 0\}</math>.~~ Jest to sfera o środku <math>(0, 0, \frac{1}{2})</math> i promieniu <math>\frac{1}{2}</math>. Należą do niej zarówno punkt <math>(0, 0, 0)</math>, jak i <math>(0, 0, 1)</math>. Płaszczyzna rozpięta na osiach <math>\xi</math> i <math>\eta</math> jest do tej sfery styczna w punkcie <math>(0, 0, 0)</math>. Po utożsamieniu osi <math>\xi</math> i <math>\eta</math> odpowiednio z osiami <math>x\;</math> i <math>y\;</math> można zastosować [[rzut stereograficzny]] płaszczyzny zespolonej domkniętej na tę sferę, który: * punktowi <math>\infty \in \overline{\mathbb{C}}</math> przyporządkowuje punkt <math>(0, 0, 1)</math>, * każdemu punktowi <math>z \neq \infty</math> przyporządkowuje punkt przecięcia powierzchni sfery z prostą łączącą punkty <math>z\;</math> i <math>(0, 0, 1)</math>. ~~Rzut ten ustala homeomorfizm między płaszczyzną zespoloną domkniętą a sferą<ref>Krzyż,Ławrynowicz, op. cit., s. 13</ref>.~~ Rozszerzony zbiór liczb zespolonych jest przydatny w [[Analiza zespolona\|analizie zespolonej]], ponieważ pozwala w pewnych przypadkach na [[dzielenie przez zero]], co powoduje, że wyrażenia takie jak <math>\scriptstyle 1 / 0\ =\ \infty</math> stają się ''porządne''. Na przykład każda [[funkcja wymierna]] na płaszczyźnie zespolonej może być określona jako [[funkcja ciągła]] na sferze Riemanna, jeśli [[Biegun (analiza zespolona)\|biegunom]] tej funkcji przypiszemy wartość ∞. Bardziej ogólnie, każdą [[Funkcja meromorficzna\|funkcję meromorficzną]] można traktować jako funkcję ciągłą, której [[Funkcja#Pojęcia i notacja\|przeciwdziedziną]] jest sfera Riemanna. ~~Płaszczyzna zespolona domknięta jest pojęciem często używanym w [[analiza zespolona\|analizie zespolonej]]. Można ją spotkać w literaturze także pod nazwą '''sfery Riemanna'''.~~ W geometrii sfera Riemanna jest prototypowym przykładem [[Powierzchnia Riemanna\|powierzchni Riemanna]] i jedną z najprostszych [[Rozmaitość\|rozmaitości]] zespolonych. ~~==Przykłady zastosowania==~~ * [[Funkcja homograficzna]] <math>w = \frac{az + b}{cz + d}</math>, gdzie <math>ad - bc \neq 0</math> jest [[homeomorfizm]]em przestrzeni <math>\overline{\mathbb{C}}</math> na siebie. Przekształcenie to jest [[przekształcenie konforemne\|konforemne]] we wszystkich punktach <math>\overline{\mathbb{C}}</math><ref>{{cytuj książkę \| nazwisko =Шабат \| imię =Борис \| autor link = \| tytuł =Введение в комплексный анализ \| wydawca =Наука \| miejsce =Москва \| rok =1985 \| strony =48-49 \| tom =1 }}</ref>. * Każda [[funkcja meromorficzna]] w <math>\overline{\mathbb{C}}</math> jest funkcją wymierną<ref>Шабат, op. cit., s. 147</ref>. * Niech <math>\gamma</math> będzie [[krzywa gładka\|krzywą gładką]], a <math>f\;</math> funkcją ciągłą na <math>\gamma</math>. Wtedy funkcja ~~:<math>F(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(\zeta) d\zeta}{\zeta - z}</math>~~ ~~:jest [[funkcja holomorficzna\|funkcją holomorficzną]] na zbiorze <math>\overline{\mathbb{C}} \setminus \gamma</math>, równą zero w <math>\infty</math><ref>Шабат, op. cit., s. 155</ref>.~~ == Rozszerzony zbiór liczb zespolonych == ~~{{Przypisy}}~~ Rozszerzony zbiór liczb zespolonych zawiera wszystkie liczby zespolone oraz ∞. Zbiór ten można zapisać jako <math>\scriptstyle \C\ \cup\ \{ \infty \}</math> i często jest oznaczany przez ozdobienie litery <math>\scriptstyle \C</math> jakimś symbolem np.: : <math>\hat{\C},\quad\overline{\C},\quad\text{lub}\quad\C_\infty</math>. Rozszerzony zbiór liczb zespolonych jest utożsamiany geometrycznie ze sferą Riemanna. === Operacje arytmetyczne === [[Dodawanie]] liczb zespolonych można rozszerzyć przez zdefiniowanie : <math>z + \infty = \infty, \quad \infty + \infty = \infty</math> dla dowolnej liczby zespolonej ''z''. [[Mnożenie]] można rozszerzyć przez zdefiniowanie : <math>z \cdot \infty = \infty, \quad \infty \cdot \infty = \infty</math> dla wszystkich liczb zespolonych oprócz zera. Należy jednak zauważyć, że operacje <math>\scriptstyle \infty - \infty</math> i <math>\scriptstyle 0\ \cdot\ \infty</math> pozostają nieokreślone. W przeciwieństwie do liczb zespolonych, rozszerzony zbiór liczb zespolonych nie jest [[Ciało (matematyka)\|ciałem]] ponieważ ∞ nie ma [[Liczba odwrotna\|liczby odwrotnej]]. Niemniej jednak zwyczajowo definiuje się w zbiorze <math>\scriptstyle \C\ \cup\ \{ \infty \}</math> dzielenie jako : <math>\frac{z}0 = \infty, \quad \frac{z}\infty = 0, \quad \frac\infty{0} = \infty, \quad \frac{0}\infty = 0</math> dla wszystkich liczb zespolonych ''z'' oprócz zera. === Funkcje wymierne === Na sferze Riemanna każda [[funkcja wymierna]] <math>\scriptstyle f(z) = g(z) / h(z)</math> może być rozszerzona do [[Funkcja ciągła\|funkcji ciągłej]]. W szczególności, jeśli <math>\scriptstyle z_0</math> jest liczbą zespoloną taką, że mianownik <math>\scriptstyle h(z_0)\ =\ 0</math> natomiast licznik <math>\scriptstyle g(z_0)\ \neq\ 0</math> to można zdefiniować, że <math>\scriptstyle f(z_0)\ =\ \infty</math>. Ponadto <math>\scriptstyle f(\infty)</math> można zdefiniować jako [[Granica funkcji\|granicę]] <math>\scriptstyle f(\infty)\ =\ \lim_{z\rightarrow \infty} f(z)</math>. Przykład, mając daną funkcję : <math>f(z) = \frac{6z+1}{2z-10}</math> można zdefiniować <math>\scriptstyle f(5)\ =\ \infty</math> ponieważ mianownik wynosi zero dla <math>\scriptstyle z\ =\ 5</math> i <math>\scriptstyle f(\infty)\ =\ 3</math> ponieważ <math>\scriptstyle \lim_{z\rightarrow \infty} f(z)\ =\ 3</math>. Dzięki tym definicjom, funkcja ''f'' staje się funkcją ciągłą odwzorowującą sferę Riemanna na sferę Riemanna. Gdy rozpatrujemy sferę Riemanna jako rozmaitość zespoloną okazuje się, że funkcje wymierne są [[Funkcja holomorficzna\|funkcjami holomorficznymi]] odwzorowującymi ją na siebie. == Rozmaitość zespolona == Sferę Riemanna można uznać za jednowymiarową [[rozmaitość]] zespoloną, którą można opisać za pomocą dwóch map o przekształceniach w płaszczyznę zespoloną <math>\scriptstyle \C</math>. Niech ζ i ξ są zespolonymi współrzędnymi na <math>\scriptstyle \C</math>. Można utożsamiać niezerowe wartości ζ z niezerowymi wartościami ξ korzystając z ''[[Atlas (matematyka)\|przekształceń przejścia]]'' :<math> \begin{align} \zeta & = 1 / \xi, \\[8pt] \xi & = 1 / \zeta. \end{align} </math> Ponieważ ''przekształcenia przejścia'' są [[Funkcja holomorficzna\|holomorficzne]], definiują one rozmaitość zespoloną nazywaną '''sferą Riemanna'''. Intuicyjnie, przekształcenia przejścia wskazują jak skleić razem dwie płaszczyzny aby utworzyć sferę Riemanna. Płaszczyzny są sklejone w sposób „wewnątrz-na-zewnątrz”, czyli nakładają się na siebie niemalże całkowicie, jedynie środki płaszczyzn (tj. punkty zerowe) są indywidualnym wkładem dopełniającym braki jednej względem drugiej. Innymi słowy, (prawie) każdy punkt na sferze Riemanna ma przypisane dwie wartości, ζ i ξ, które łączy relacja <math>\scriptstyle \zeta\ =\ 1 / \xi</math>. Punkt, w którym <math>\scriptstyle \xi\ =\ 0</math>, powinien mieć wartość „1/0”; w tym znaczeniu środek płaszczyzny będącej mapą ξ pełni rolę „∞” na mapie ζ i odwrotnie. Od strony [[Topologia\|topologicznej]] uzyskana przestrzeń jest [[uzwarcenie#Uzwarcenie jednopunktowe\|uzwarceniem jednopunktowym]] płaszczyzny. Jednakże sfera Riemanna to nie tylko sfera topologiczna. Ta sfera ma dobrze zdefiniowaną strukturę zespoloną, tj. dla każdego punktu na sferze istnieje otoczenie które może być utożsamione za pomocą [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna\|bijekcji]] [[Funkcja holomorficzna\|holomorficznej]] z <math>\scriptstyle \C</math>. Z drugiej strony, [[twierdzenie o ujednoliceniu]] (centralny wynik klasyfikacji powierzchni Riemanna) stanowi, że [[Przestrzeń jednospójna\|jednospójnymi]] jednowymiarowymi rozmaitościami zespolonymi są tylko płaszczyzna zespolona, płaszczyzna hiperboliczna i sfera Riemanna. Z tego zbioru jedynie sfera Riemanna jest ''rozmaitością zamknietą'' ([[Przestrzeń zwarta\|zwartą]] i bez ''brzegu''). Stąd dwuwymiarowa sfera uzyskuje jednoznaczną strukturę zespoloną przekształcając się w jednowymiarową rozmaitość zespoloną. == Sfera == [[Plik:Riemann sphere1.jpg\|thumb\|250px\|Rzut stereograficzny liczby zespolonej ''A'' na punkt α sfery Riemanna]] Sferę Riemanna można przedstawić jako sferę jednostkową <math>\scriptstyle x^2 + y^2 + z^2 = 1</math> w trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej <math>\scriptstyle \R^3</math>. Aby to osiągnąć należy zastosować [[rzut stereograficzny]] sfery jednostkowej bez punktu (0,0,1) na płaszczyznę ''z'' = 0, którą utożsamia się z płaszczyzną zespoloną za pomocą ζ = ''x'' + ''iy''. Współrzędne [[Układ współrzędnych kartezjańskich\|kartezjańskie]] ''(x,y,z)'' i [[Układ współrzędnych sferycznych\|sferyczne]] ''(φ,θ)'' na sferze (gdzie ''φ'' to odległość zenitalna, a ''θ'' to długość azymutalna) opisuje równanie : <math>\zeta = \frac{x + i y}{1 - z} = \mbox{ctg }(\phi / 2) \; e^{i \theta}</math> Podobnie, rzut stereograficzny od (0,0,-1) na płaszczyznę ''z'' = 0, utożsamiany z inną kopią płaszczyzny jako ξ = ''x'' - ''iy'', opisuje równanie : <math>\xi = \frac{x - i y}{1 + z} = \mbox{tg }(\phi / 2) \; e^{-i \theta}</math> Aby pokryć całą sferę jednostkową potrzebne są dwa odwzorowania: pierwsze przekształca całą sferę z wyjątkiem punktu (0,0,1) a drugie podobnie z wyjątkiem punktu (0,0,-1). Stąd wynika potrzeba zastosowania dwóch płaszczyzn zespolonych, po jednej dla każdego rzutu, które intuicyjnie można skleić „''tyłem do siebie''” dla ''z'' = 0. Należy zauważyć, że obie płaszczyzny zespolone są odmiennie identyfikowane z płaszczyzną ''z'' = 0. Odwrócona [[orientacja (matematyka)\|orientacja]] jest niezbędna aby utrzymać jednoznaczną orientację na sferze, w szczególności sprzężenie zespolone powoduje, że przekształcenia przejścia są holomorficzne. Przekształcenia przejścia między współrzędnymi ζ i ξ, można uzyskać przez złożenie jednego przekształcenia z odwrotnym do drugiego. Okazuje się, że wynoszą one ζ = 1/ξ i ξ = 1/ζ, co jest opisane wyżej. Tym samym sfera jednostkowa jest [[Dyfeomorfizm\|dyfeomorficzna]] ze sferą Riemanna. W tym dyfeomorfizmie, okrąg jednostkowy na mapie ζ oraz okrąg jednostkowy na mapie ξ są tożsame z równikiem sfery jednostkowej. Koło jednostkowe \|ζ\| < 1 jest tożsame z półsferą południową (''z'' < 0), a koło jednostkowe \|ξ\| < 1 jest tożsame z półsferą północną (''z'' > 0). == Linki zewnętrzne == * {{MathWorld \|tytuł = Sfera Riemanna\| adres = RiemannSphere}} * {{PlanetMath\|url=RiemannSphere\|tytuł=Sfera Riemanna}} [[Kategoria:Analiza zespolona]] [[Kategoria:Topologia]] [[ar:كرة ريمان]] Linia 27 ⟶ 90: [[cs:Riemannova koule]] [[de:Riemannsche Zahlenkugel]] [[en:Riemann sphere]] [[es:Esfera de Riemann]] [[fa:کره ریمان]]

Sfera Riemanna: Różnice pomiędzy wersjami