Pierścień (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

Anulowanie wersji nr 33756617 autora 83.24.202.38
(Zmiany polegają na korekcie definicji pierścienia. Element 1 jest nieodzowny!)
(Anulowanie wersji nr 33756617 autora 83.24.202.38)
'''Pierścień''' – [[algebra ogólna|struktura]] formalizująca własności algebraiczne [[liczby całkowite|liczb całkowitych]] oraz [[arytmetyka modularna|arytmetyki modularnej]]; intuicyjnie [[zbiór]], którego elementy mogą być bez przeszkód [[dodawanie|dodawane]], [[odejmowanie|odejmowane]] i [[mnożenie|mnożone]], lecz niekoniecznie [[dzielenie|dzielone]]. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. [[liczba pierwsza|liczby pierwsze]] (przez ''[[ideał pierwszy (teoria pierścieni)|ideały pierwsze]]''), [[wielomian]]y, [[ułamek|ułamki]] oraz rozwinięcie teorii [[dzielnik|podzielności]] i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie [[algorytm Euklidesa|algorytmu Euklidesa]] (tzw. ''[[dziedzina Euklidesa|pierścień Euklidesa]]''). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się [[teoria pierścieni|teorią pierścieni]].
 
W literaturze spotyka się rozmaite definicje pierścieni różniące się stopniem uogólnienia. W artykule tym za najogólniejszą przyjmowana jest definicja tzw. ''pierścienia łącznego''. Wnioskom płynącym z zawężenia definicji poprzez wymaganie elementu neutralnego mnożenia bądź warunku przemienności mnożenia również poświęcono osobne artykuły: ''[[pierścień z jedynką]]'', ''[[pierścień przemienny]]''.
 
== Definicja ==
*: <math>\forall_{a \in R}\; \exists_{b \in R}\; a + b = 0,</math>
*: <math>\forall_{a, b \in R}\; a + b = b + a;</math>
* struktura <math>(R, \cdot)</math> jest [[monoidpółgrupa|monoidempółgrupą]] z działaniem <math>\cdot</math> nazywanym '''mnożeniem''' i [[element neutralny|elementem neutralnym]] <math>1</math> nazywanym '''[[1 (liczba)#Jeden w matematyce|jedynką]]'''::
*: <math>\forall_{a, b, c \in R}\; a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c;</math>
*: <math>\exists_{1 \in R}\; \forall_{a \in R}\; a \cdot 1 = 1 \cdot a = a,</math>
* oba działania powiązane są ze sobą prawami [[rozdzielność|rozdzielności]]:
*: <math>\forall_{a, b, c \in R}\; a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c),</math>