Pierścień (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

(Anulowanie wersji nr 33756617 autora 83.24.202.38)
* [[liczby całkowite Eisensteina]] (pierścień przemienny, dziedzina Euklidesa),
 
Osobnym przykładem są [[pierścień wielomianów|pierścienie wielomianów]] <math>R[X]</math> jednej zmiennej <math>X</math> o współczynnikach z pierścienia <math>R.</math> W <math>R[X]</math> zachowywane są następujące własności pierścienia <math>R</math>: przemienność, istnienie jedynki, brak dzielników zera, całkowitość (tzn. bycie dziedziną całkowitości), jednoznaczność rozkładu ([[Twierdzenie Gaussa (algebra)|twierdzenie Gaussa]]), noetherowskość ([[twierdzenie Hilberta o bazie]]). Jeżeli <math>R</math> jest ciałem, to <math>R[X]</math> jest [[pierścieńDziedzina Euklidesa|pierścieniem euklidesowym]].
 
Dobrze znane struktury [[liczby wymierne|liczb wymiernych]], [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], czy [[liczby zespolone|liczb zespolonych]] z działaniami arytmetycznymi są przykładami pierścieni, jako że wszystkie są [[ciało (matematyka)|ciałami]]. Z kolei liczby naturalne (z działaniami arytmetycznymi) ''nie'' tworzą pierścienia, ponieważ wraz z działaniem dodawania nie tworzą nawet [[grupa (matematyka)|grupy]]; [[oktawy Cayleya|oktoniony]] również nie są pierścieniem, ponieważ mnożenie w nich określone nie jest [[łączność (matematyka)|łączne]], lecz tylko [[alternatywność|alternatywne]].
* [[ideał główny]] – generowany przez jeden element pierścienia,
* [[ideał maksymalny]] – zawarty wyłącznie w ideale niewłaściwym <math>R,</math>
* [[Ideał pierwszy (teoria pierścieni)|ideał pierwszy]] – taki, że jeśli dany element ideału jest iloczynem dwóch innych, to przynajmniej jeden z nich również należy do ideału.
 
=== Elementy wyróżnione ===
* <math>f(a + b) = f(a) + f(b),</math>
* <math>f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b),</math>
nazywa się '''homomorfizmem pierścieni'''. Inaczej: jest to [[homomorfizm grupowy|homomorfizm grup]] addytywnych, a przy tym [[półgrupa|homomorfizm półgrup]] multiplikatywnych tych pierścieni.
 
Przekształcenie <math>f: R_1 \to R_2</math> między dwoma pierścieniami z jedynką zachowujące ich działania i jedynkę, tzn. dla dowolnych elementów <math>a,b \in R_1</math> spełnione są warunki:
* <math>f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b),</math>
* <math>f(1_{R_1}) = 1_{R_2},</math>
nazywa się '''homomorfizmem pierścieni z jedynką'''. Inaczej: jest to [[homomorfizm grupowy|homomorfizm grup]] addytywnych, a przy tym [[monoid|homomorfizm monoidów]] multiplikatywnych.
 
== Pierścień ilorazowy ==
* [[pierścień z jednoznacznością rozkładu]] – pierścień przemienny, w którym każdy element można rozłożyć w sposób ''jednoznaczny'' na [[element nierozkładalny|elementy nierozkładalne]],
* [[pierścień lokalny]] – pierścień mający tylko jeden [[ideał maksymalny]],
* [[Dziedzina Euklidesa|pierścień Euklidesa]] – pierścień umożliwiający stosowanie [[algorytm Euklidesa|algorytmu Euklidesa]] (znajdowanie [[największy wspólny dzielnik|NWD]]),
* [[Element nilpotentny#Pierścień zredukowany|pierścień zredukowany]] – pierścień bez niezerowych [[element nilpotentny|elementów nilpotentnych]],
* [[Algebra Boole'a|pierścień Boole'a]] – pierścień przemienny z jedynką, w którym każdy element jest [[element idempotentnyIdempotentność|idempotentny]],
* [[pierścień Dedekinda]] – dziedzina całkowitości, w której każdy niezerowy właściwy ideał rozkłada się na iloczyn [[ideałIdeał pierwszy (teoria pierścieni)|ideałów pierwszych]].
* pierścień skończenie generowany - pierścień, dla którego istnieje skończony zbiór generatorów (taki, że najmniejszym podpierścieniem go zawierającym jest cały pierścień). Przykładem takiego pierścienia są [[liczby całkowite]] (generowane przez jedynkę). Przykładem pierścienia, który nie jest skończenie generowany są [[liczby wymierne]] (bo dla dowolnego skończonego zbioru liczb wymiernych istnieje [[liczba pierwsza]] nie dzieląca [[Ułamek|mianownika]] żadnej z nich).
 
== Zobacz też ==
{{wikisłownik|pierścień}}
* [[Algebra Boole'a|pierścień Boole'a]]
* [[pierścień przemienny]]
* [[półpierścień]]