Całka Riemanna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m zamiana szablonu "źródła" z "dopracować, replaced: {{Źródła|data= → {{dopracować|źródła= przy użyciu AWB |
dadatek |
||
Linia 90:
Jeśli <math>\scriptstyle f</math> jest ciągła, a <math>\scriptstyle F</math> jest jej dowolną [[funkcja pierwotna|funkcją pierwotną]], to zachodzi tzw. ''wzór Newtona-Leibniza'',
: <math>\int\limits_a^b f(x) \mathrm dx = F(b) - F(a).</math>
==== Dowod ====
Ograniczymy się do funkcji dodatniej w przedziale <math>\scriptstyle [a, b]</math>. Oszacujmy pole pod wykresem funkcji <math>f</math> dzieląc przedział <math>\scriptstyle [a, b]</math> gęsto na podprzedziały o końcach <math>x_i</math> długości <math>dx</math>
i tak że <math>x_0 = a</math> a <math>x_n=b</math>. Jeśli <math>dx</math> jest małe wtedy pomiędzy kolejnymi węzłami
<math>x_i</math>, <math>x_{i+1}</math> funkcja <math>f</math> jest w przybliżeniu liniowa a więc pole pod nią można przybliżyc przez pole trapezu
: <math>P_i = \frac{[f(x_i) + f(x_{i+1}]dx}{2}</math>
Wtedy pole pod wykresem funkcji będzie oszacowane jako
: <math>P = \sum P_i </math>
Niech <math>F</math> będzie funcją pierwotną do funkcji <math>f</math>
Wtedy też jej pochodną możemy oszacować jako
: <math>f(x_i) = [F(x_{i+1}) - F(x_i)]/ dx </math>
Ponieważ teraz większość składników sumy pojawia się podwójnie ale
z przeciwnym znakiem dając wkład zerowy, <mathdx</math> się skraca podstawiając to wyrażenia na pole całkowite otrzymujemy z dokadnoscią
do małego wyrazu w <math>dx</math>
: <math>P = F(b) - F(a) + \Theta(dx)</math>
Poniewaz dowóod nie zależy od wielkości dx jest ważny dla dowolnie małego dx a więc dla dokładnej wartości pola.
=== Charakteryzacja funkcji całkowalnych ===
| |||