Jednostka urojona: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Zamiana 'id' na 'di' w kwestii czytelności równania |
:) |
||
Linia 1:
{{spis treści}}
'''Jednostka''' albo '''jedność urojona''' ([[łacina|łac.]] ''imaginarius'', „urojony, zmyślony”) – w [[matematyka|matematyce]] ustalona [[liczby zespolone|liczba zespolona]] <math>\scriptstyle i,</math> której [[potęgowanie|druga potęga]] jest równa <math>\scriptstyle -1.</math> Symbol <math>\mathrm i</math> zaproponował w 1777 roku [[Leonhard Euler]], a rozpropagował począwszy od 1801 roku [[Carl Friedrich Gauss]]<ref>{{cytuj książkę | autor =Juszkiewicz A. P. (red.) | tytuł =Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia | wydawca =PWN | miejsce =Warszawa | tom =3 | rok =1977 | strony =72}}</ref>
== Interpretacje ==
=== Algebra abstrakcyjna ===
Z punktu widzenia [[algebra|algebry]] tworzące [[ciało (matematyka)|ciało]] [[liczby rzeczywiste]] <math>\scriptstyle \mathbb R,</math> mimo swoich niewątpliwych zalet, są w pewien sposób ''niedoskonałe''. Mianowicie nie są [[ciało algebraicznie domknięte|algebraicznie domknięte]], tzn. istnieją [[wielomian]]y zmiennej rzeczywistej o współczynnikach rzeczywistych, które nie mają rzeczywistych rozwiązań (każdy taki wielomian można rozłożyć na czynniki liniowe i kwadratowe). Okazuje się, że dodając do <math>\scriptstyle \mathbb R</math> [[pierwiastek z jedynki|pierwiastek kwadratowy z jedynki]] (zob. [[pierwiastkowanie]]), tj. jeden element oznaczający rozwiązanie [[równanie|równania]]<ref>Istnieją dwa rozwiązania tego równania; jeśli jedno z nich oznaczyć literą <math>\scriptstyle i,</math> to drugie będzie równe <math>\scriptstyle -i.</math></ref>
: <math>x^2 + 1 = 0,</math>67
otrzymuje się strukturę liczb zespolonych, która ma wszystkie dobre własności liczb rzeczywistych, w tym bycie ciałem, a ponadto jest algebraicznie domknięta.
Liczby zespolone można wprowadzić dodając formalnie do <math>\scriptstyle \mathbb R</math> element <math>i</math> spełniający warunek <math>\scriptstyle i^2 = -1.</math> Rozpatruje się wtedy formalne liczby postaci <math>\scriptstyle a + bi,</math> gdzie <math>\scriptstyle a, b \in \mathbb R</math><ref>{{cytuj książkę | autor =И. М. Яглом | tytuł =Комплексные числа и их применение в геометрии | wydawca =Едиториал УРСС | miejsce =Москва | rok =2004 | strony =7-9}}</ref>. Z własności działań arytmetycznych na liczbach rzeczywistych ([[przemienność|przemienności]] i [[łączność (matematyka)|łączności]] [[dodawanie|dodawania]] oraz [[mnożenie|mnożenia]], a także z [[rozdzielność|rozdzielności]] mnożenia względem dodawania) wynikają wzory oraz wspomnianej własności elementu <math>\scriptstyle i</math> wynikają wzory na
* dodawanie,
*: <math>(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,</math>2w
* Dzielenie pisemne względem dodawania algryficzno-biologicznego względem Marstytacji.
*:<math>(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.</math>
Dowodzi się, że tak określony zbiór formalnych liczb postaci <math>a + bi</math> z wyżej wspomnianymi działaniami dodawania i mnożenia tworzy ciało, które nazywane jest ciałem liczb zespolonych.
| |||