Wikipedia

Moc zbioru: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
→‎Zbiory nieskończone przeliczalne: zdanie zaczynające podsekcję, mówiło o dowolnych zbiorach nieskończonych (zamiast o przeliczalnych)
Linia 17:
 
=== Zbiory nieskończone przeliczalne ===
Zbiory nieskończone '''[[zbiór przeliczalny|przeliczalne]]''' tj. takie, które są równoliczne ze zbiorem [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] <math>\mathbb{N}</math>:
Zbiór nieskończony jest równoliczny z pewnym swoim podzbiorem właściwym:
* Zbiór parzystych liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych – funkcja wzajemnie jednoznaczna może być opisana, na przykład jako ciąg par {(2,1), (4,2), (6,3), (8,4), ... } <br/>Podobnie zbiór nieparzystych liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych.
* Zbiór liczb pierwszych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (argumentacja podobna jak wyżej)
Linia 23:
* Zbiór [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Niech każdemu ułamkowi <math>x/y</math> odpowiada punkt o współrzędnych (x, y) w [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskim układzie współrzędnych]] na płaszczyźnie, gdzie x i y są całkowite. Funkcję wzajemnie jednoznaczną można skonstruować numerując "spiralnie" punkty o współrzędnych całkowitych kolejnymi liczbami naturalnymi: (0, 0), (1, 0), (1, -1), (0, -1), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (2, 0), (2, -1) ..., przy czym numerujemy tylko te punkty (x,y), które współrzędną <math>y</math> mają dodatnią i zarazem ułamek <math>x/y</math> jest nieskracalny.
 
Zbiory skończone lub równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych nazywane są '''[[zbiór przeliczalny|zbiorami przeliczalnymi]]'''. Można wykazać, że także zbiór [[liczby algebraiczne|algebraicznych]] jest przeliczalny (nieskończony). Ponadto, można wykazać, że dla każdego zbioru nieskończonego istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru liczb naturalnych na jego właściwy podzbiór. To oznacza, że moc zbioru liczb naturalnych jest ''najmniejszą'' spośród mocy zbiorów nieskończonych. Liczbę kardynalną odpowiadającą mocy zbioru liczb naturalnych oznacza się [[język hebrajski|hebrajską]] literą [[alef]] z indeksem 0: <math>\aleph_0</math>.
 
=== Zbiory nieprzeliczalne ===
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Moc_zbioru”