Moc zbioru: Różnice pomiędzy wersjami

* Zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb całkowitych. Funkcja wzajemnie jednoznaczna między tymi zbiorami może być opisana, na przykład, w postaci ciągu: {(1,0), (2,1), (3,−1), (4,2), (5,−2), (6,3), (7,−3)...}

* Zbiór [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Niech każdemu ułamkowi <math>x/y</math> odpowiada punkt o współrzędnych (x, y) w [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskim układzie współrzędnych]] na płaszczyźnie, gdzie x i y są całkowite. Funkcję wzajemnie jednoznaczną można skonstruować numerując "spiralnie" punkty o współrzędnych całkowitych kolejnymi liczbami naturalnymi: (0, 0), (1, 0), (1, -1), (0, -1), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (2, 0), (2, -1) ..., przy czym numerujemy tylko te punkty (x,y), które współrzędną <math>y</math> mają dodatnią i zarazem ułamek <math>x/y</math> jest nieskracalny.

 

Można wykazać, że dla każdego zbioru nieskończonego istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru liczb naturalnych na jego właściwy podzbiór. To oznacza, że moc zbioru liczb naturalnych jest ''najmniejszą'' spośród mocy zbiorów nieskończonych. Liczbę kardynalną odpowiadającą mocy zbioru liczb naturalnych oznacza się [[język hebrajski|hebrajską]] literą [[alef]] z indeksem 0: <math>\aleph_0</math>.