Wikipedia

Zawężenie funkcji: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Paweł Ziemian BOT (dyskusja | edycje)
Boty
1 384 060 edycji
m zamieniam magiczny ISBN na szablon
Konradek (dyskusja | edycje)
12 936 edycji
m drobne redakcyjne
Linia 1:
{{spis treści}}
'''Restrykcja funkcji'''<ref name="AGH" /> (lub ''obcięcie funkcji''<ref name="PWN" /><ref name="TM10" />, ''zawężenie funkcji''<ref name="AGH" /><ref name="PWN" />) <math>f\subset X \times Y</math> do [[Zbiór|zbioru]] <math>Z\subset X</math> – [[Relacja (matematyka)|relacja]] <math>f\Big|_Z</math> zdefiniowana jako <math>f\cap(Z\times Y),</math> czyli zbiór <math>\{(x,y)\in f: x\in Z\}</math><ref name="TM10" /><ref name="TM8" />.
'''Zawężenie'''{{odn|Encykopedia PWN}}{{odn|e-podręcznik AGH}} a. '''obcięcie funkcji'''{{odn|Encykopedia PWN}}{{odn|Błaszczyk|s=10}} (rzad. ''restrykcja funkcji''{{odn|e-podręcznik AGH}}) – ograniczenie [[dziedzina (matematyka)|dziedziny]] danej [[funkcja|funkcji]] do pewnego jej [[podzbiór|podzbioru]]{{odn|Encykopedia PWN}}{{#tag:ref|Konstrukcja zgodna z tą definicją nie sprawia problemów w standardowej [[Aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatyce ZF]] [[Teoria mnogości|teorii mnogości]]{{odn|Błaszczyk|s=105}}|group=uwaga}}.
 
== Charakteryzacje ==
Łatwo zauważyć, że zawężenie funkcji jest [[Funkcja|funkcją]]<ref name="TM10" />.
{{zobacz też|relacja dwuargumentowa|złożenie funkcji}}
Niech dana będzie relacja funkcyjna <math>f\subset X \times Y</math> oraz ustalony [[podzbiór]] <math>U \subset X</math>. [[Relacja (matematyka)|Relację]] <math>f \cap (U \times Y),</math> czyli zbiór <math>\{(x,y) \in f\colon x \in U\}</math>, nazywa się '''zawężeniem''' <math>f</math> do zbioru <math>U</math> i oznacza <math>f|_U</math>. Zawężenie relacji funkcyjnej również jest relacją funkcyjną{{odn|Błaszczyk|s=8,10}}<ref group="uwaga">Ponieważ <math>(u,y_1) \in f|_U</math> oraz <math>(u,y_2)\in f|_U</math>, to <math>(u, y_1) \in f</math> oraz <math>(u,y_2) \in f</math>, skąd <math>y_1 = y_2</math>.</ref>.
 
Obcięcie funkcji można zdefiniować równoważnie wykorzystując [[złożenie relacji]]{{odn|Błaszczyk|s=9}}<ref group="uwaga"><math>f \circ \Delta_U = \{(x,y)\in X\times Y\colon \exists_{u\in U}\ (x,z)\in \Delta_U \;\text{ oraz }\; (u,y)\in f\} = \{(x,y)\in X\times Y\colon \exists_{u\in U}\ x=u \;\text{ oraz }\; (u,y)\in f\} = \{(x,y)\in f\colon x\in U\} = f|_U</math></ref>: <math>f|_U = f\circ \Delta_U,</math> gdzie <math>\Delta_U := \{(x, x)\in X \times X\colon x\in U\}</math>
; Dowód: <math>\left( (z,y_1)\in f\Big|_Z \wedge (z,y_2)\in f\Big|_Z \right) \Rightarrow \Big( (z,y_1)\in f \wedge (z,y_2)\in f \Big) \Rightarrow y_1=y_2 \ \ \square</math><ref name="TM10" />.
 
Patrząc na funkcję <math>f\colon X \to Y</math> nieco bardziej abstrakcyjnie<ref group="uwaga">Tj. niekoniecznie utożsamiając ją z jej wykresem.</ref> zawężenie do zbioru <math>U</math> można scharakteryzować jako taką funkcję <math>g\colon U \to Y</math>, której dowolny element <math>u \in U</math> spełnia <math>g(u) = f(u)</math>{{odn|e-podręcznik AGH}}.
Można zaobserwować, że obcięcie funkcji można zdefiniować także w równoważny sposób, korzystając z pojęcia [[Złożenie funkcji|złożenia funkcji]]: <math>f\Big|_Z=f\circ id_Z,</math> gdzie <math>id_Z:=\{(x,x)\in X\times X : x\in Z\}</math><ref name="TM9" />.
 
== Przypisy ==▼
; Dowód:
{{przypisy|3}}▼
: <math>\begin{align}
f\circ id_Z &= \{(x,y)\in X\times Y : \exists_{z\in Z}\ (x,z)\in id_Z \wedge (z,y)\in f\} \\
&= \{(x,y)\in X\times Y : \exists_{z\in Z}\ x=z \wedge (z,y)\in f\} = \{(x,y)\in f : x\in Z\} = f\Big|_Z \ \ \ \square
\end{align}</math><ref name="TM9" />.
 
== Uwagi ==
Definicję restrykcji funkcji można łatwo skonstruować na bazie [[Aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatyki ZF]] [[Teoria mnogości|teorii mnogości]]<ref name="TM105" />.
{{uwagi}}
 
Wiedząc już, że restrykcja funkcji jest funkcją, definicję opartą na pojęciu funkcji jako relacji, można zastąpić definicją nie odwołującą się wprost do relacji, a mianowicie dla funkcji <math>f\colon X\to Y</math> zawężenie do zbioru <math>Z\subset X</math> można wyrazić jako funkcję <math>f\Big|_Z\colon Z\to Y</math> taką, że <math>\forall_{z\in Z}\ f\Big|_Z(z)=f(z)</math><ref name="AGH" />. Zatem restrykcja intuicyjnie może być rozumiana jako „zmniejszenie” [[Dziedzina (matematyka)|dziedziny funkcji]] do jej [[Podzbiór|podzbioru]] <math>Z</math><ref name="PWN" />.
 
▲== Przypisy ==
▲{{przypisy|
<ref name="AGH">Anna Barbaszewska-Wiśniowska, [https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permanlink.php?link=002e994bad9c2d91f57eed52c6545c9c ''Restrykcja (zawężenie) funkcji''], e-podręcznik AGH, 2018.</ref>
<ref name="TM8">[[Aleksander Błaszczyk]], Sławomir Turek, ''Teoria mnogości'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2015, {{ISBN|978-83-01-15232-1}}, s. 8.</ref>
<ref name="TM9">[[Aleksander Błaszczyk]], Sławomir Turek, ''Teoria mnogości'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2015, {{ISBN|978-83-01-15232-1}}, s. 9.</ref>
<ref name="TM10">[[Aleksander Błaszczyk]], Sławomir Turek, ''Teoria mnogości'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2015, {{ISBN|978-83-01-15232-1}}, s. 10.</ref>
<ref name="TM105">[[Aleksander Błaszczyk]], Sławomir Turek, ''Teoria mnogości'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2015, {{ISBN|978-83-01-15232-1}}, s. 105.</ref>
<ref name="PWN">[https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/obciecie-funkcji;3949213.html ''Obcięcie funkcji''], Encyklopedia PWN.</ref>▼
}}
 
== Bibliografia ==
[[Kategoria:Funkcje matematyczne]]
* {{cytuj książkę | imię = Aleksander | nazwisko = Błaszczyk | autor link = Aleksander Błaszczyk | imię2 = Sławomir | nazwisko2 = Turek | tytuł = Teoria mnogości | wydawnictwo = Wydawnictwo Naukowe PWN | miejsce = Warszawa | rok = 2015 | isbn = 978-83-01-15232-1}}
▲<ref* {{cytuj stronę | tytuł name="PWN">[ Obcięcie funkcji | url = https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/obciecie-funkcji;3949213.html ''Obcięcie| funkcji''],praca = Encyklopedia PWN.</ref> | odn = pwn}}
* {{cytuj stronę | imię = Anna | nazwisko = Barbaszewska-Wiśniowska | tytuł = Restrykcja (zawężenie) funkcji | url = https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/tiki-index.php?page=Restrykcja+%28zaw%C4%99%C5%BCenie%29+funkcji | rok = 2018 | praca = e-podręcznik AGH | odn = agh}}[[Kategoria:Funkcje matematyczne]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Zawężenie_funkcji”