|
'''Para uporządkowana''', zapisywana– <math>(a,każdy b)</math>,obiekt może byćmatematyczny utworzonapowstały z dowolnych dwóch elementów <math>a, b</math>. Istotna, w tej parze jest kolejność elementów:którym <math>a</math> jestmoże pierwszymbyć elementem,określony zwanymjako ''poprzednikiem'' parypierwszy, a <math>b</math> jestjako drugimdrugi elementem,element zwanympary; nazywa się je odpowiednio ''poprzednikiem'' oraz ''następnikiem'' pary<ref name=HR>Helena Rasiowa, ''Wstęp do matematyki współczesnej'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1968.</ref><ref name=ency>''Encyklopedia szkolna. Matematyka'', Wydanie trzecie zmienione i poprawione, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1997, s. 269 {{ISBN|83-02-06609-5}}.</ref><ref group="uwaga">W(w innych, specjalnych kontekstach bywająużywa używanesię też inneinnych określeniaokreśleń, np. ''pierwsza współrzędna'', /''druga współrzędna'', ''rzut lewostronnylewo-'', /''rzut prawostronny''.</ref>). JeśliParę symbolzłożoną z wymienionych elementów oznacza się zwykle symbolem <math>(a, b)</math>, parychoć uporządkowanejstosuje mógłbysię byćteż inne notacje, gdy można by go mylnie wziętywziąć za inny obiekt (np. za [[przedział (matematyka)|przedział otwarty]] w zbiorze [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]), używa się symboluprzykładowo <math>\langle a, b \rangle</math> (którym oznacza się również [[iloczyn skalarny]]).
Podstawową, charakteryzującą własnością par uporządkowanych jest to, że
; Własność charakteryzująca
: <math>(a_1, b_1) = (a_2, b_2)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a_1 = a_2</math> oraz <math>b_1 = b_2</math>.
Wynika stąd, że <math>(a, b) = (b, a)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a=b</math>.
Parę uporządkowaną <math>(a, b)</math> należy odróżniać od [[Para nieuporządkowana | pary nieuporządkowanej]] <math>\{a, b\}</math>, która będacejjest zbiorem utworzonym z elementów <math>a, b</math>, toteż <math>\{a, b\} = \{b, a\}</math>.
NajważniejszymPrototypowym przykładem pary uporządkowanej są [[układ współrzędnych |współrzędne]] <math>(x,y)</math>punktu na [[płaszczyzna|płaszczyźnie]].
punktu na [[płaszczyzna |płaszczyźnie]].
== Iloczyn kartezjański ==
Zbiór wszystkich par uporządkowanych, których poprzednik należy do zbioru <math>X</math>, a następnik do zbioru <math>Y</math>, nazywa się [[iloczyn kartezjański|iloczynem kartezjańskim]] <math>X</math> oraz <math>Y</math>, oznaczanym symbolem
: <math>X \times Y = \{ (x,y) : x \in X, y\in Y \}</math>.
W teorii mnogości pojęcie funkcji <math>f \colon X \to Y</math> definiuje się jako zbiór par uporządkowanych <math>(x, f(x))</math>, a więc też jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego <math>X \times Y</math>.
== Definicje teoriomnogościowe par uporządkowanych ==
Pojęcie pary uporządkowanej, intuicyjnie oczywiste, sprawia poważne trudności przy próbach zdefiniowania go w terminach aksjomatycznej [[teoria mnogości|teorii mnogości]]<ref>Z. Semadeni, ''Trudności epistemologiczne związane z pojęciami: pary uporządkowanej i funkcji'', Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Seria V: Dydaktyka Matematyki, t. 24 (2002), s.119-144.</ref>. Nie można bowiem wtedy użyć takich określeń jak np. "kolejność„kolejność elementów"elementów” czy "pierwsze„pierwsze miejsce"miejsce”. [[Felix Hausdorff]]<ref>F. Hausdorff, ''Grundzüge der Mangenlehre'', Leipzig, 1914.</ref> był świadom, że [[#Definicja Hausdorffa|jego definicja (podana poniżej)]], w której używał symboli <math>1</math> i <math>2</math>, ma ten mankament, że owe <math>1</math> i <math>2</math> nie mogą być symbolami liczb [[1 (liczba)|1]] i [[2, bowiem mielibyśmy kolizję w przypadku,(liczba)|2]]: gdy <math>a</math> lub <math>b</math> okażebyłyby się liczbąliczbami 1 lub 2 doszłoby do kolizji oznaczeń.
Własność charakterystyczna par uporządkowanych, wspomniana w poprzedniej sekcjiwyżej, jest wszystkim, co jest konieczne do zrozumienia istoty par uporządkowanych w matematyce. Dlatego para uporządkowana może być postrzegana jako [[pojęcie pierwotne]], którego aksjomatem jest wspomniana własność charakteryzująca. Podejście to wykorzystywała grupa [[Nicolas Bourbaki|N. Bourbakiego]] w swojej ''Teorii mnogości'' wydanej w 1954 roku.
Niżej podano kilka definicji teoriomnogościowych pary uporządkowanej.
=== Definicja Wienera ===
Pierwszą [[teoria mnogości|teoriomnogościową]] definicję pary uporządkowanej zaproponował w 1914 roku [[Norbert Wiener]]<ref>Praca Wienera „A Simplification of the logic of relations” została przedrukowana wraz z wartościowym komentarzem na stronach 224nn w van Heijenoort, Jean (1967), ''From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1979-1931'', Harvard University Press, Cambridge MA, {{ISBN|0-674-32449-8}} (pbk.). van Heijenoort wyraża uproszczenie w następujący sposób: „Zdefiniowanie pary uporządkowanej dwóch elementów za pomocą operacji klasowych sprawia, iż uwaga redukuje teorię relacji do teorii klas”. (''By giving a definition of the ordered pair of two elements in terms of class operations, the note reduced the theory of relations to that of classes'').</ref>:
: <math>(x, y) := \bigg\{\big\{\scriptstyle{\{x\},\{\}}\big\}, \big\{\{y\}\big\}\bigg\}</math>.
|
