Wnętrze (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m literówka |
własności wnętrza dla sumy, dodanie przypisu dla twierdzenia o generowaniu topologii |
||
Linia 14:
#int(''S''∩''F'')=int(''S'')∩int(''F'')
#Jeżeli ''S'' jest zbiorem otwartym, to ''S'' jest podzbiorem ''F'' wtedy i tylko wtedy, gdy ''S'' jest podzbiorem int(''F'').
Wnętrze zbioru zależy od [[Przestrzeń topologiczna|topologii]] – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to jeden i ten sam zbiór punktów może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej już nie.
Zauważmy też, że w [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]] punkt ''p'' zbioru ''F'' jest punktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje [[kula]] o środku w punkcie ''p'' całkowicie zawarta w zbiorze ''F''.
Inne własności operacji wnętrza:
# <math> Int(A) \cup Int(B) \subset Int(A \cup B)</math> dla dowolnych zbiorów <math>A \subset X,\ B \subset X</math>
# <math> \bigcup_{s \in S} Int(A_s) \subset Int \left( \bigcup_{s \in S} A_s \right)</math> dla dowolnej rodziny zbiorów <math>\{A_s \subset X: s \in S\}</math>
==Operacja wnętrza a topologia==
Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek int(''X'')=''X'', gdzie ''X'' oznacza całą [[przestrzeń]], to może ona posłużyć do zdefiniowania [[Przestrzeń topologiczna#Określenie operacji wnętrza|topologii przez operację wnętrza]] w zbiorze ''X''. <ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Engelking |imię=Ryszard| autor link=Ryszard Engelking |tytuł=Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47 |wydawca=Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce=Warszawa |rok=1975| strony=37}}</ref>
==Przykłady==
| |||