Wikipedia

Przekształcenie geometryczne: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Konradek (dyskusja | edycje)
12 936 edycji
mNie podano opisu zmian
Konradek (dyskusja | edycje)
12 936 edycji
drobne redakcyjne
Linia 1:
{{Dopracować|klasyfikacja i przykłady poparte rysunkami, jak w frwiki}}
{{dopracować}}
'''Przekształcenie, odwzorowanie geometryczne''' – [[funkcja]] przekształcająca [[zbiór]] [[punktów (geometria)|punktów]], nazywany ''figurą geometryczną'', w pewien inny zbiór punktów. W szczególności zbiory te mogą leżeć w innych przestrzeniach, najczęściej [[przestrzeń euklidesowa|euklidesowych]].
 
O ile nie jest powiedziane wprost, zwykle przyjmuje się, że przekształceniem geometrycznym jest funkcja określona na całej [[przestrzeń euklidesowa|płaszczyźnie euklidesowej]] [[funkcja "na"|na siebie]], zaś figurami geometrycznymi są [[figura płaska|figury płaskie]]. Najczęściej przyjmuje się, że przekształcenia geometryczne są ''niezdegenerowane'', tzn. są [[funkcja różnowartościowa|różnowartościowe]], a więc [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznaczne]].
'''Odwzorowanie geometryczne''' jest to [[funkcja (matematyka)|funkcja]] ''F'' przekształcająca [[figura geometryczna|figurę geometryczną]] ''Z<sub>1</sub>'' w figurę geometryczną ''Z<sub>2</sub>'', co symbolicznie zapisujemy: ''F: Z<sub>1</sub> &rarr; Z<sub>2</sub>''.
 
Wszystkie pojęcia, określenia i sposoby zapisu przedstawione w artykule dot. funkcji mogą być zastosowane do opisu przekształcenia geometrycznego, w tym: ''[[obraz (matematyka)|obraz]]'', ''[[punkt stały]]'', ''[[funkcja odwrotna|odwracalność i odwrotność]]''.
Każdemu punktowi ''p'' figury ''Z<sub>1</sub>'' przyporządkowany jest punkt figury geometrycznej ''Z<sub>2</sub>'', który nazywa się '''obrazem punktu''' p w odwzorowaniu geometrycznym ''F'' i oznacza się symbolem ''F(p)''.
 
==Rodzaje i przykłady==
'''Obrazem figury''' ''Z<sub>1</sub>'' w odwzorowaniu geometrycznym ''F: Z<sub>1</sub> &rarr; Z<sub>2</sub>'' nazywa się figurę geometryczną zawarta w ''Z<sub>2</sub>'' i złożoną tylko z tych punktów figury ''Z<sub>2</sub>'', które są obrazami punktów figury ''Z<sub>1</sub>''. Zbiór ten oznacza się symbolem ''F(''Z<sub>1</sub>''):<br>
|[[grafikaGrafika:odwzorowanie_g_prostej.png|300px|thumb]]<br>▼
<center><math>F(Z_1) = \left\{ q \in Z_2\colon \ \exists_{p \in Z_1} \ q=F(p) \right\}</math></center> <br>
Do najważniejszych przekształceń geometrycznych [[płaszczyzna|płaszczyzny]] można zaliczyć:
* [[Rzutrzut równoległy]] [[płaszczyzna|płaszczyzny]] na [[prosta|prostą]] (nie jest odwzorowaniem[[funkcja geometrycznym różnowartościowym.<br>różnowartościowa|różnowartościowy]]),▼
* [[symetria osiowa]] i [[symetria środkowa]] (są [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznaczne]]),
* [[translacja (matematyka)|przesunięcie równoległe]] (wzajemnie jednoznaczne),
* [[przekształcenie liniowe]] i [[przekształcenie afiniczne|afiniczne]].
 
|Odwzorowanie geometryczne ''<math>F:\colon L &rarr;\to O''</math> [[prosta|prostej]] ''<math>L''</math> w [[okrąg]] ''<math>O'',</math> którenie jest różnowartościowe , ale niejest odwzorowuje ''L''[[funkcja "na ''O''"|„na”]]. Prosta ''<math>L''</math> jest [[styczna]] do okręgu ''<math>O''</math> w punkcie <math>p_1 = F(p_1)</math>. Obrazem ''<math>F(p)''</math> dowolnego punktu ''<math>p'' prostej\in ''L''</math> jest punkt przecięcia okręgu z odcinkiem <math>qp</math>. Punkt <math>q</math> będący końcem średnicy okręgu ''O'' wychodzącejpoprowadzonej z punktu<math>p_1</math> stycznościnie okręgujest ''O''w ztym prostą ''L'' nie jestprzekształceniu obrazem żadnego punktu prostej ''<math>L'' w tym przekształceniu</math>.▼
Punkt p figury ''Z'' nazywa się '''punktem stałym''' odwzorowania geometrycznego ''F: Z &rarr; Z'', jeśli ''F(p)=p''.
 
==Zobacz też==
Jeśli funkcja przekształcająca jedną figurę geometryczna w drugą jest [[funkcja różnowartościowa|funkcją różnowartościową]], to odwzorowanie geometryczne nazywa się odwzorowaniem geometrycznym '''różnowartościowym'''.<br>
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]]
 
Jeśli funkcja przekształcająca jest [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznaczną]], to odwzorowanie nazywa się odwzorowaniem geometrycznym '''wzajemnie jednoznacznym''' lub odwzorowaniem geometrycznym '''odwracalnym'''. Odwzorowanie geometryczne wzajemnie jednoznaczne wyznacza przekształcenie zwane odwzorowaniem geometrycznym '''odwrotnym''' ''F<sup> -1</sup>'', które jest określone w następujący sposób:<br>
 
<center><math>\mbox{dla dowolnego }q \in Z_2\ F^{-1}(q)=p \Leftrightarrow F(p)=q</math></center>
 
▲[[Rzut równoległy]] [[płaszczyzna|płaszczyzny]] na [[prosta|prostą]] nie jest odwzorowaniem geometrycznym różnowartościowym.<br>
[[Symetria osiowa]], [[symetria środkowa]], [[przesunięcie równoległe]] są odwzorowaniami geometrycznymi wzajemnie jednoznacznymi.
 
{| border="0"
|[[grafika:odwzorowanie_g_1.png|300px]]
|Odwzorowanie geometryczne ''F: Z<sub>1</sub> &rarr; Z<sub>2</sub>''. Punkty ''F(p), F(q), F(r), F(s)'' należące do ''Z<sub>2</sub>'' są obrazami punktów ''p, q, r, s'' figury ''Z<sub>1</sub>''.
|}
<br>
{| border="0"
|[[grafika:odwzorowanie_g_2.png|300px]]<br>
|Obrazem figury ''Z<sub>1</sub>'' w odwzorowaniu geometrycznym ''F: Z<sub>1</sub> &rarr; Z<sub>2</sub>'' jest figura geometryczna ''Z<sub>1</sub><sup>&prime;</sup>'' zawarta w ''Z<sub>2</sub>''; obrazem figury A zawartej w ''Z<sub>1</sub>'' jest figura A<sup>&prime;</sup> zawarta w ''Z<sub>2</sub>''.
|}
<br>
{| border="0"
|[[grafika:odwzorowanie_g_zlozenie.png|400px]]<br>
|Złożenie (superpozycja) odwzorowań geometrycznych<br> ''F: Z<sub>1</sub> &rarr; Z<sub>2</sub>'' i ''G: Z<sub>2</sub> &rarr; Z<sub>3</sub>''
|}
<br>
{| border="0"
▲|[[grafika:odwzorowanie_g_prostej.png|300px]]<br>
▲|Odwzorowanie geometryczne ''F: L &rarr; O'' prostej ''L'' w okrąg ''O'', które jest różnowartościowe , ale nie odwzorowuje ''L'' na ''O''. Prosta ''L'' jest [[styczna]] do okręgu ''O''. Obrazem ''F(p)'' dowolnego punktu ''p'' prostej ''L'' jest punkt przecięcia okręgu z odcinkiem qp. Punkt q będący końcem średnicy okręgu ''O'' wychodzącej z punktu styczności okręgu ''O'' z prostą ''L'' nie jest obrazem żadnego punktu prostej ''L'' w tym przekształceniu.
|}
 
[[Kategoria:Przekształcenia geometryczne|*]]
Linia 44 ⟶ 24:
[[de:Transformation (Mathematik)]]
[[eo:Geometria bildigo]]
[[en:Transformation (mathematics)]]
[[fr:Transformation géométrique]]
[[hu:Transzformáció]]
[[ja:変換 (数学)]]
[[pt:Transformação geométrica]]
[[ro:Transformare]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Przekształcenie_geometryczne”