Macierz diagonalna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne redakcyjne, drobne techniczne |
macierze skalarne |
||
Linia 1:
{{Macierz}}
'''Macierz diagonalna''' – [[macierz]], zwykle kwadratowa<ref>W niektórych źródłach pojęcie macierzy diagonalnej wprowadza się wśród macierzy prostokątnych. Np. B.Gleichgewicht "Algebra" Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2002, str. 120</ref>, której wszystkie współczynniki leżące poza [[
== Definicja ==
Macierz kwadratową <math>\mathbf{A} = (a_{ij})</math> stopnia <math>n</math> nazywa się '''diagonalną''', jeżeli
: <math>a_{ij} = 0 \mbox{ dla } i \ne j, \mbox{ gdzie } i, j = 1, 2, \dots, n</math>.
Często oznacza się ją symbolem <math>\mathrm{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)</math>, gdzie <math>d_i = a_{ii}</math> dla <math>i = 1, 2, \dots, n</math>, czyli kolejne współczynniki leżące na głównej przekątnej.
== Przykłady ==
Linia 20:
Stąd dla macierzy
: <math>\mathbf{A} = \mathrm{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n)</math>
oraz
: <math>\mathbf{B} = \mathrm{diag}(b_1, b_2, \ldots, b_n)</math>
zachodzą działania
: <math>\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathrm{diag}(a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_n + b_n) </math>,
: <math>
Zatem [[Potęgowanie macierzy|potęgowanie]] macierzy diagonalnej o wykładniku [[liczby naturalne|naturalnym]] <math>k</math> sprowadza się do potęgowania elementów tej macierzy:
Linia 34:
Macierz diagonalna jest [[Macierz odwrotna|odwracalna]], jeżeli każdy jej element jest [[element odwracalny|odwracalny]] (jw.). Wówczas wzór na macierz odwrotną macierzy diagonalnej jest analogiczny do wzoru na jej potęgowanie:
: <math>\mathrm{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)^{-1} = \mathrm{diag}(d_1^{-1}, d_2^{-1}, \dots, d_n^{-1})</math>.
Każda macierz diagonalna jest [[macierz symetryczna|symetryczna]], jeżeli zaś jej elementy należą do liczb rzeczywistych bądź zespolonych, to jest ona również [[macierz normalna|normalna]]. Macierz kwadratowa jest diagonalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest trójkątna i normalna.
== Macierz skalarna ==
Macierz diagonalna, której wszystkie elementy na przekątnej głównej są sobie równe, czyli macierz postaci
: <math>\mathrm{diag}(\lambda, \lambda, \dots, \lambda) = \lambda \mathrm{I}</math>,
gdzie <math>I</math> jest macierzą jednostkową, nazywana jest '''macierzą skalarną'''.
Macierze te są [[centrum (algebra)|centrum]] algebry wszystkich macierzy ustalonego stopnia, co oznacza, iż są one [[przemienność|przemienne]] z dowolną macierzą tego samego stopnia.
{{przypisy}}
| |||