Funkcja ograniczona: Różnice pomiędzy wersjami

Funkcją '''nieograniczoną''' nazywa się funkcję, która nie jest ograniczona. Równoważnie: jest to funkcja, której [[zbiór wartości funkcji|zbiór wartości]] nie zawiera się w żadnym przedziale.

 

Funkcję nazwiemy '''ograniczoną z góry''', jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Podobnie funkcja jest '''ograniczona z dołu''', jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu.

 

Ponieważ każdy ciąg jest funkcją, zatem pojęcie ograniczoności funkcji przenosi się w oczywisty sposób na ciągi. Wyłącznie ciągi ograniczone mogą mieć skończone [[granica ciągu|granice]].

 

Funkcję o wartościach w [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]] nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości zawiera się w pewnej [[kula|kuli]]. Analogicznie, funkcję nazywamy nieograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy jej nie istnieje kula, w której zawiera się zbiór wartości.

 

Funkcję o wartościach w [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzeni liniowo-topologicznej]] nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej wartości jest [[przestrzeń liniowo-topologiczna#Zbiory ograniczone|zbiorem ograniczonym]]. Gdy przestrzeń liniowo-topologiczna jest [[przestrzeń liniowo-topologiczna#Klasy przestrzeni liniowo-topologicznych|metryzowalna]], to obie definicje są równoważne.

 

* Funkcje sinus i cosinus są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału <math>[-1, 1]</math>.

* Funkcje <math>f(x) = x,\; g(x) = x^2</math> są nieograniczone. [[Funkcja kwadratowa]] <math>g(x) = x^2</math> jest jednak ograniczona z dołu. Ogólnie, wszystkie [[wielomian]]y stopnia niezerowego i różne od wielomianu zerowego są nieograniczone.

* Ciąg <math>-1, -3, -5, -7, \dots</math> nie jest ograniczony z dołu, natomiast posiada ograniczenie górne.

 

* [[ciąg (matematyka)|ciąg]].