Twierdzenie Stokesa: Różnice pomiędzy wersjami

{{dopracować|brak konkretnego przypadku w R3, ale lepiej brak niż poprzednia wersja}}

'''Twierdzenie Stokesa''' – w najczęściej spotykanym przypadku trójwymiarowym, twierdzenie mówiące, że [[cyrkulacja]] pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym [[Krzywa Jordana|konturze]] gładkim jest równa strumieniowi [[rotacja|rotacji]] pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w [[teoria pola (fizyka)|teorii pól]]. Używane jest w [[mechanika płynów|mechanice płynów]], [[równania Maxwella|równaniach Maxwella]] i wielu innych. [[Twierdzenie Greena|Twierdzenia Greena]] i [[Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa|Ostrogradskiego-Gaussa]] można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa.

 

Twierdzenie Stokesa można wypowiedzieć najogólniej dla ''n''-wymiarowych powierzchni gładkich.

 

jest taką funkcją, że <math>z(y)</math> jest wektorem zewnętrznym do zbioru <math>K</math> w punkcie <math>y</math>, <math>|z(y)|=1</math>, <math>z(y)</math> jest wektorem normalnym do powierzchni <math>\mbox{Fr}K</math> w punkcie <math>y</math> dla każdego <math>y\in \mbox{Fr}K</math>.

 

Załóżmy, że <math>W\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest zbiorem otwartym, <math>K\subseteq W</math> takim zbiorem zwartym, że <math>K=\mbox{cl Int}K</math>, brzeg <math>\mbox{Fr}K</math> jest (''N''-1)-wymiarową powierzchnią gładką oraz

:<math>z\colon \mbox{Fr}K\to\mathbb{R}^N</math>

gdzie <math>\mbox{div}</math> oznacza operator [[dywergencja|dywergencji]].

 

{{main|Twierdzenie Greena}}

Załóżmy, że <math>W\subseteq \mathbb{R}^2</math> jest zbiorem otwartym, <math>K\subset W</math> jest zbiorem zwartym takim, że <math>K=\mbox{cl Int}K</math> oraz brzeg <math>\mbox{Fr}K</math> jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto

 

== Zobacz też ==

 

{{stub}}