Wersja z 12:36, 31 sty 2010 edytuj Luckas-bot (dyskusja \| edycje) 520 554 edycje m robot dodaje: nl:Nergens dichte verzameling ← poprzednia edycja		Wersja z 20:00, 27 mar 2010 edytuj anuluj edycję MastiBot (dyskusja \| edycje) Boty 3 418 458 edycji m Wspomagane przez robota ujednoznacznienie: Przegląd zagadnień z zakresu matematyki - Zmieniono link(i) Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki; zmiany kosmetyczne następna edycja →
Linia 9: == Własności == * Rodzina <math>{\rm NWD}(X)</math> wszystkich nigdziegęstych podzbiorów <math>X</math> tworzy właściwy [[ideał (teoria mnogości)\|ideał]] podzbiorów <math>X</math>, tzn ::jeśli <math>A,B\in {\rm NWD}(X)</math>, to <math>A\cup B\in {\rm NWD}(X)</math>, oraz ::jeśli <math>A\in {\rm NWD}(X)</math> i <math>B\subseteq A</math>, to <math>B\in {\rm NWD}(X)</math>, oraz ::<math>X\notin {\rm NWD}(X)</math>. * [[zbiór przeliczalny\|Przeliczalna]] [[suma zbiorów\|suma]] zbiorów nigdziegęstych nie musi być nigdziegęsta: [[liczby wymierne]] są przeliczalną sumą jednoelementowych nigdziegęstych podzbiorów [[liczby rzeczywiste\|prostej rzeczywistej]], a tworzą one [[zbiór gęsty\|gęsty]] podzbiór prostej. * Jeśli <math>A\subseteq Y\subseteq X</math> i <math>A</math> jest nigdziegęsty w <math>Y</math> (tzn <math>A\in {\rm NWD}(Y)</math> gdy <math>Y</math> jest wyposażone w [[Podprzestrzeń (topologia) \|topologię podprzestrzeni]]), to <math>A\in {\rm NWD}(X)</math>. * Załóżmy, że <math>A\subseteq Y\subseteq X</math> oraz albo <math>Y</math> jest gęstym podzbiorem <math>X</math> lub <math>Y</math> jest otwarty w <math>X</math>. Wówczas <math>A\in {\rm NWD}(X)</math> wtedy i tylko wtedy gdy <math>A\in {\rm NWD}(Y)</math>. == Przykłady == * Każdy skończony podzbiór prostej jest nigdziegęsty. * [[Zbiór Cantora\|Klasyczny zbiór Cantora]] jest nigdziegęstym podzbiorem prostej rzeczywistej. Każdy podzbiór prostej który jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora jest nigdziegęsty (w <math>{\mathbb R}</math>). * Istnieją nigdziegęste domknięte podzbiory <math>{\mathbb R}</math> które mają dodatnią [[Miara Lebesgue'a\|miarę Lebesgue'a]], np zbiór Cantora otrzymany przez wyrzucanie na kroku <math>n</math> odcinków długości <math>5^{-n}</math>. == Uogólnienia == === <math>s_0</math>-zbiory === Motywowany przez charakteryzację podaną w lemacie, polski matematyk [[Edward Marczewski]] wprowadził w [[1935]] pojęcie <math>(s_0)</math>-zbiorów. Linia 30: Zbiory <math>(s_0)</math> tworzą <math>\sigma</math>-ideał podzbiorów <math>\mathbb R</math>. === Zbiory <math>\mathcal A</math>-nigdziegęste === W drugiej połowie XX w. wprowadzono wspólne uogólnienie pojęcia zbiorów <math>(s_0)</math> i zbiorów nigdziegęstych. Schemat tego uogólnienia może być przedstawiony w sposób następujący. Niech <math>\mathcal A</math> będzie pewną rodziną niepustych podzbiorów przestrzeni <math>X</math>. Powiemy, że zbiór <math>A\subseteq X</math> jest '''<math>\mathcal A</math>-nigdziegęsty''' jeśli każdy element <math>U\in {\mathcal A}</math> zawiera podzbiór <math>V\in {\mathcal A}</math> rozłączny z <math>A</math>. Jeśli <math>{\mathcal A}</math> jest rodziną niepustych otwartych podzbiorów <math>X</math>, to powyższa definicja określa nigdziegęste podzbiory <math>X</math>. Jeżeli <math>\mathcal A</math> jest rodziną zbiorów doskonałych, zaś <math>X=\mathbb R</math>, to otrzymujemy z kolei <math>(s_0)</math>-zbiory Marczewskiego. Linia 40: W literaturze matematycznej można spotkać też inne przykłady rodzin <math>{\mathcal A}</math> używanych w tym kontekście, niektóre z tych rodzin są związane z [[pojęcie forsingu\|forsingami]] drzewiastymi. == Zobacz też == * [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki\|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]], * [[zbiór pierwszej kategorii]], * [[ideał (teoria mnogości)\|ideały w teorii mnogości]]. [[Kategoria:~~topologia~~Topologia]] [[cs:Řídká množina]]

Zbiór nigdziegęsty: Różnice pomiędzy wersjami