Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej: Różnice pomiędzy wersjami

'''Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej''' – [[twierdzenie]] w [[analiza matematyczna|analizie]] i [[teoria miary|teorii miary]] stwierdzające, że granica [[zbieżność monotoniczna|monotonicznie zbieżnego]] [[ciąg (matematyka)|ciągu]] nieujemnych funkcji [[funkcja mierzalna|mierzalnych]] jest mierzalna. Jeśli dodatkowo funkcje w ciągu są [[funkcja całkowalna|całkowalne]] i zbiór wartości całek jest [[zbiór ograniczony|ograniczony]], to funkcja graniczna też jest całkowalna i jej [[całka]] jest granicą całek z wyjściowych [[funkcja (matematyka)|funkcji]].

== Twierdzenie ==

: (a) <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math> jest [[przestrzeń mierzalna|przestrzenią mierzalną z miarą]],

: (c) <math>0\leqslant f_1(x)\leqslant f_2(x)\leqslant f_3(x)\leqslant\ldots</math> dla każdego <math>x\in X</math>,

: (d) dla wszystkich <math>x\in X</math> istnieje [[Granica ciągu|granica]] <math>\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)</math>; niech funkcja <math>f:X\longrightarrow {\mathbb R}</math> będzie zdefiniowana przez

Mierzalność funkcji granicznej jest zwykle dowodzona osobno i nie będziemy tu tego komentować. Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(e). Jak wspomnieliśmy, ''f'' jest mierzalna. Ponieważ ciąg <math>\left(\int f_n d\mu\right)_{n\in {\mathbb N}}</math> jest [[ciąg monotoniczny|monotonicznie]] rosnący i ograniczony z góry (na mocy założeń (c) i (e)), więc jest on zbieżny. Niech <math>C=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu</math>.

Oczywiście, <math>A_n\in {\mathcal F}</math> (jako że zarówno <math>f_n</math> jak i <math>h</math> są mierzalne) oraz <math>A_n\subseteq A_{n+1}</math> (używamy tu założenia (c)). Ponieważ <math>\alpha\cdot h(x)<f(x)</math> ilekroć <math>f(x)>0</math>, to używając założenia (d) widzimy, że <math>X=\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n</math>. Zauważmy, że

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby <math>\alpha\in (0,1)</math>, to otrzymujemy iż <math>\int h\ d\mu\leqslant C=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu</math>.

Tak więc wykazaliśmy, że dla każdej funkcji prostej ''h'' spełniającej nierówności <math>0\leqslant h\leqslant f</math> mamy że <math>\int h\ d\mu\leqslant C</math>, a więc funkcja ''f'' jest całkowalna oraz <math>\int f\ d\mu\leqslant C</math>. (Czytelnik może zechcieć skonsultować ten wniosek z definicją funkcji [[Całka Lebesgue'a#Całkowanie funkcji mierzalnych|całkowalnych w sensie Lebesgue'a]].) Ponieważ jednocześnie <math>\int f_n\ d\mu\leqslant \int f\ d\mu</math> (jako że <math>f_n\leqslant f</math>), to mamy też

* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],