Zbieżność punktowa: Różnice pomiędzy wersjami

* Granica punktowa ciągu funkcji [[funkcja ciągła|ciągłych]] nie musi być funkcją ciągłą. Na przykład, niech dane będą funkcje <math>f_n\colon [0,\pi]\to [0,1]</math> dane wzorem <math>f_n(x)=\sin^n x</math> dla <math>x \in [0,\pi]</math> oraz <math>n \in \mathbb N.</math> Ciąg <math>(f_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f\colon [0,\pi] \to [0,1]</math> opisanej wzorem

: <math>f(x) = \begin{cases} 0 & \text{dla } x \in [0,\pi/2) \cup (\pi/2, \pi] \\ 1 & \text{dla } x = \pi/2 \end{cases}</math>

* Niech <math>F\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> będzie funkcją [[pochodna|różniczkowalną]], a <math>f</math> będzie jej [[pochodna|pochodną]]. Wówczas można znaleźć funkcje ciągłe <math>g_n\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> dla <math>n \in \mathbb N</math> takie, że ciąg <math>(g_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>g.</math>

* Z [[Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa|twierdzenia Weierstrassa]] można wynika, że każda funkcja ciągła <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> jest granicą punktową ciągu [[wielomian]]ów.

*: jeśli dodatkowo <math>g_n(x) \ne 0 \ne g(x)</math> dla wszystkich <math>x \in \mathbb R</math>, to ciąg <math>\left({f_n \over g_n}\right)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f \over g</math>.

* Jeśli <math>f_n\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> (dla <math>n \in \mathbb N</math>) są funkcjami ciągłymi zbieżnymi punktowo do funkcji <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R</math>, to <math>f</math> jest [[funkcja mierzalna|funkcją mierzalną]] względem [[przestrzeń mierzalna|σ-ciała]] zbiorów [[zbiór borelowski|borelowskich]] (zob. [[#Klasy Baire'a|dalej]]).

: <math>\{x \in X\colon f</math> nie jest ciągła w punkcie <math>x\}</math>

: jest [[zbiór pierwszej kategorii|pierwszej kategorii]].

 

== Zobacz też ==

* [[zbieżność jednostajna]],

* [[zbieżność monotoniczna]],