Wartość oczekiwana: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m robot poprawia: el:Αναμενόμενη τιμή |
dodanie wyprowadzenia wzoru na wartość oczekiwaną rozkładu normalnego |
||
Linia 39:
<math>(\Delta\hat{A})^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2</math>.
== Wartość oczekiwana rozkładu normalnego <math>N(m,\sigma^2)</math> ==
<math>E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}x \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{\frac{-(x-m)^2}{2\sigma^2}}dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} \int_{-\infty}^{+\infty}x e^{-\big(\frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma}\big)^2}dx=^{*}</math></br></br></br></br>
:<math>y=\frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma} \Rightarrow x = y\sqrt{2}\sigma + m</math> (a więc granice całkowania nie zmieniają się)</br></br></br></br>
:<math> dy = \frac{1}{\sqrt{2}\sigma}dx \Rightarrow dx = \sqrt{2}\sigma dy</math></br></br></br></br>
<math>=^{*}\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{+\infty} (y\sqrt{2}\sigma + m)e^{-y^2} \sqrt{2}\sigma dy =
\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} (y\sqrt{2}\sigma + m)e^{-y^2}dy=
</math></br></br></br></br>
<math>=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \Bigg( \sqrt{2}\sigma \int_{-\infty}^{+\infty} ye^{-y^2}dy + a\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy \Bigg)=
\frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}} \Bigg( \int_{-\infty}^{+\infty} ye^{-y^2}dy \Bigg)_{{=0}}^{(1)} + \frac{a}{\sqrt{\pi}} \Bigg(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy\Bigg)_{{=\sqrt{\pi}}}^{(2)}=
</math></br></br></br></br>
<math>=\frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}} \cdot 0 + \frac{a}{\sqrt{\pi}} \cdot \sqrt{\pi} = a</math>
:<math>(1) = \int_{-\infty}^{+\infty} ye^{-y^2}dy = \frac{1}{2}\int_{+\infty}^{+\infty} e^{-z}dz = 0</math>
:<math> z = y^2</math> (granice całkowania się zmieniają)</br></br></br></br>
:<math> dz = 2ydy \Rightarrow dy = \frac{dz}{2y}</math></br></br></br></br>
:<math>(2) = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy </math> - [[całka Poissona]]
== Zobacz też ==
* [[średnia arytmetyczna]]
| |||