Stan układu: Różnice pomiędzy wersjami

'''Stan układu''' to jedno z najważniejszych pojęć w teorii [[układ dynamiczny|układów dynamicznych]] i [[teoria sterowania|teorii sterowania]].

 

Pytając o stan danego układu (obiektu), żądamy ścisłej informacji ilościowej, umożliwiającej określenie co dzieje się z układem w danej chwili (nawet jeśli nie jest on podany żadnym oddziaływaniom zewnętrznym) i jak może się on zachowywać w najbliższej przyszłości. Stan charakteryzuje układ odznaczający się pewnego rodzaju pamięcią, tzn. stan zawiera informację zakumulowaną z całej przeszłości układu aż do danej chwili oraz nie może ulegać nagłym, skokowym zmianiom. W wypadku większości układów (poza najprostszymi) [[Wejście-wyjście (automatyka)|wyjście układu]] <math>y</math> w chwili <math>t_n</math> zależy nie tylko od [[Wejście-wyjście (automatyka)|wejścia układu]] <math>u</math> w chwili <math>t_n</math>, ale także od przeszłych [[Wejście-wyjście (automatyka)|wejść układu]] (we wszystkich chwilach <math>t_i</math>, gdzie <math>t_i < t_n</math>). Całkowity wpływ na układ minionych wartości [[Wejście-wyjście (automatyka)|wejść]] jest reprezentowany przez pojęcie ''stanu wewnętrznego'' układu. Dzięki wprowadzeniu tego pojęcia upraszczamy analizę układu, bowiem by wyznaczyć [[Wejście-wyjście (automatyka)|wyjście układu]] <math>y</math> w chwili <math>t_n</math> musimy znać tylko dwie wielkości: [[Wejście-wyjście (automatyka)|wejścia układu]] <math>u</math> w chwili bieżącej oraz stan układu <math>x</math> w chwili bieżącej.

 

Stan układu jest jego [[Zmienna (automatyka)|zmienną wewnętrzną]], gdyż można go określić tylko pośrednio. [[zmienna (automatyka)|'''Zmienne stanu''']] są związane z istnieniem elementów magazynujących (np. energię) więc liczba zmiennych stanu jest równa liczbie [[zmienna niezależna|''niezależnych'']] elementów magazynujących. W [[układ dynamiczny|układach dynamicznych]] można wyróżnić przynajmniej jedną zmienną stanu. W [[układ statyczny|układach statycznych]] nie można określić ani jednej zmiennej stanu, nie ma w nich elementów magazynujących, lecz są tylko elementy rozpraszające energię. Wybór [[zmienna (automatyka)|zmiennych stanu]] jest w gruncie rzeczy arbitralny.

 

Pojęcie '''wektora stanu''' jest uogólnieniem w stosunku do pojedyńczej zmiennej stanu. Jeśli układ jest opisany tylko jedną [[zmienna (automatyka)|zmienną stanu]], to jej wartości są reprezentowane przez liczby [[skalar (matematyka)|skalarne]] (rzeczywiste). W przypadku większej liczby zmiennych stanu nie można określić konkretnego stanu za pomocą jednej liczby, lecz za pomocą zbioru liczb reprezentujących wartości poszczególnych zmiennych. Można to interpretować w taki sposób, że stan ma sens [[wektor|wektora]], określonego w '''przestrzeni stanów''', <math>n</math>-wymiarowej, jeśli istnieje <math>n</math> zmiennych stanu. Osiami (współrzędnymi) przestrzeni stanów są więc poszczególne współrzędne (zmienne) stanu. Każdy punkt przestrzeni stanów reprezentuje określony stan rozumiany jako zbiór wartości wszystkich [[zmienna (automatyka)|zmiennych]] stanu układu. Można więc zapisać symbolicznie [[wektor|wektor]] stanu układu o <math>n</math> zmiennych stanu <math>x_1, x_2,...,x_n </math> jako <math> \mathbf {x}= [x_1, x_2,...,x_n] </math>. Liczba zmiennych stanu określa wymiar wektora stanu <math>n</math> a zarazem '''[[rząd układu dynamicznego]]'''.

 

:<math>x(t)=e^{tA}x(0)+\int_0^t{e^{(t-r)A}Bu(r)dr}</math>

 

Wzór na stan <math>x(t)</math> układu jednowymiarowego, opisanego [[Równanie stanu (teoria układów dynamicznych)|równaniami stanu]]:

:<math>