* pomnożenie równania przez liczbę różną od zera (w ogólności: [[liczba odwrotna|odwracalną]]).
Jeśli układ <math>\scriptstyle (V)</math> powstaje z układu <math>\scriptstyle (U)</math> w wyniku jednej z powyższych operacji, to także układ <math>\scriptstyle (U)</math> można otrzymać z <math>\scriptstyle (V)</math> za ich pomocą: efekt zamiany dwóch równań miejscami można znieść zamieniając je jeszcze raz, z kolei odwrócenie trzeciej oepracjioperacji wymaga mnożenia przez odwrotność danej liczby; jeśli <math>\scriptstyle (V)</math> otrzymano z <math>\scriptstyle (U)</math> w wyniku dodania do <math>\scriptstyle i</math>-tego równania <math>\scriptstyle j</math>-tego równania pomnożonego przez ustaloną liczbę, to <math>\scriptstyle (U)</math> otrzymuje się z <math>\scriptstyle (V)</math> poprzez dodanie do <math>\scriptstyle i</math>-tego równania <math>\scriptstyle j</math>-tego równania pomnożonego przez [[liczba przeciwna|liczbę przeciwną]] do ustalonej. Dlatego do wykazania równoważności układów wystarczy wykazanie, że ciąg <math>\scriptstyle s_i</math> będący rozwiązaniem układu <math>\scriptstyle (U)</math> jest również rozwiązaniem <math>\scriptstyle (V).</math> Ponieważ dowolne równanie <math>\scriptstyle (V)</math> jest postaci <math>\scriptstyle aU_i + bU_j,</math> gdzie <math>\scriptstyle U_i, U_j</math> są równaniami układu <math>\scriptstyle U,</math> zaś <math>\scriptstyle a, b</math> są dowolnymi liczbami, to każde rozwiązanie <math>\scriptstyle s_i</math> spełniające równania <math>\scriptstyle U_i, U_j</math> spełnia również <math>\scriptstyle aU_i + bU_j.</math>
