Transformacja Z: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
popr edyc |
dodany rys historyczny |
||
Linia 2:
'''Transformata Z''' (''transformata Laurenta'') jest odpowiednikiem [[Transformata Laplace'a|transformaty Laplace'a]] stosowanym do opisu i analizy [[układ dyskretny|układów dyskretnych]].
==Rys historyczny==
Zasadnicza idea transformaty znanej dziś jako transformata Z była znana jeszcze przez [[Laplace]]'a. W [[1947]] roku transformatę wprowadził ponownie [[Witold Hurewicz|Witold Hurewicz]] jako dogodną metodę rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. W [[1952]] roku [[John R. Ragazzini|John Ragazzini]] and [[Lotfi A. Zadeh|Lofti Zadeh]] pracując z zagdanieniami [[układ dyskretny|układów dyskretnych]] w zespole na [[Columbia University]] nadali jej nazwę ''transformaty Z''.
Nazwa ''transformata Z'' może pochodzić od litery "z" jako dyskretnej wersji litery "s" często używanej jako zmienna niezależna w [[transformata Laplace'a|transformacie Laplace'a]] co wydaje się zasadne jako, że transfomata Z jest w istocie dyskretną wersją transformaty Laplace'a. Inne możliwe pochodzenie to litery "z" w nazwiskach badaczy (Ragazzini, Zadeh) którzy opublikowali fundamentalny artykuł na jej temat. Tym niemniej nazwa odbiega od powszechie przyjętej konwencji praktykowanej w świecie nauki by do metod lub twierdzeń stosować nazwy związane z ich pierwszymi badaczami (na przykład transformata Fouriera, transformata Laplace'a, transformata Hartley'a, itp).
Nieco później E.I. Jury wprowadził i spopularyzował [[Zmodyfikowana transformata Z|zmodyfikowaną transformatę Z]].
Idea zawarta w transformacie Z w literaturze matematycznej znana jest jako metoda [[Funkcja tworząca|funkcji tworzących]], która to datuje się na rok [[1730]] kiedy to została wprowadzona przez [[Abraham de Moivre|Abrahama de Moivre]] w powiązaniu z teorią prawdopodobieństwa.
Z matematycznego punktu widzenia transformatę Z można także traktować jako [[szereg Laurenta]] gdzie występuje szereg liczb jako rozwinięcie (Laurenta) funkcji analitycznej.
==Definicja==
Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu <math>f^\ast(t)</math> jest nazywana funkcja
:<math>Z[f^\ast(t)] = Z[f(kT)] = F(z)</math>
Linia 10 ⟶ 22:
Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż [[funkcja wykładnicza]], np. dla funkcji <math>f(k) = k!\,</math> lub <math>f(k) = e^{ak^2} (a > 0)</math> nie istnieją transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.
==
* Liniowość:
:<math>Z[af_{1}(kT) + bf_{2}(kT)] = aF_{1}(z) + bF_{2}(z)\,</math>
| |||