|
'''Teoria prawdopodobieństwa''' (także, '''rachunek prawdopodobieństwa''' lub '''probabilistyka''') – dział [[matematyka|matematyki]] zajmujący się badaniem zjawisk [[zdarzeniedeterminizm|niedeterministycznych]] losowenazywanych (teoria''[[doświadczenie prawdopodobieństwa)losowe|zdarzeniamidoświadczeniami losowymi]].'', Rachunekmianowicie prawdopodobieństwa''szansy'' zajmujeuzyskania siękażdego badaniemz abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk,możliwych którerezultatów nie sąnazywanych [[determinizm|deterministyczne]]:zdarzenie [[zmiennalosowe losowa(teoria prawdopodobieństwa)|zmiennychzdarzeniami losowychlosowymi]], w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz tzw. ''[[proces stochastyczny|procesów stochastycznych]]'' w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). JakoTeoria prawdopodobieństwa stanowi matematyczny fundament [[statystyka|statystyki]], teoriazajmującej prawdopodobieństwasię odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analizaanalizą dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć [[fizyka|fizyki]] dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury [[zjawisko fizyczne|zjawisk fizycznych]] w skali mikroskopijnej,mikroskopowej coopisywanej zaowocowałoza powstaniempomocą [[mechanika kwantowa|mechaniki kwantowej]].
MatematycznaPoczątków teoriarachunku prawdopodobieństwa sięganależy swoimidoszukiwać korzeniamisię dow opracowaniach analizyhazardowych [[gra losowa|gier losowych]], podjętejktórymi zajmowali się w [[XVII wiek|siedemnastymXVII wieku]] przezm.in. [[Pierre de Fermat]]a, orazczy [[Blaise Pascal]]a (zob. Z[[deska tegoGaltona]]). powodu,Początkowo początkowobadania teoriaskupione prawdopodobieństwa zajmowała siębyły niemal wyłącznie zjawiskamina zjawiskach zjawiskach [[zbiór dyskretny|dyskretnymidyskretnych]], itj. używałazajmowano się przede wszystkim zmiennymi losowymi o ''[[dyskretny rozkład prawdopodobieństwa|rozkładzie dyskretnym]]'', przez co probabilistyka korzystała w dużej mierze z metod [[kombinatoryka|kombinatorycznych]]. Zmienne losowe o ''[[ciągłośćciągły rozkład prawdopodobieństwa|ciągłerozkładzie ciągłym]]'' zostały wprowadzonewprowadzono do teorii prawdopodobieństwa znacznie później. Za początek stworzenia współczesnej teorii prawdopodobieństwa powszechnieprobabilistyki uważa się jej [[aksjomat]]yzację, którejdokonaną w [[1933]] dokonałroku przez [[Andriej Kołmogorow|Andrieja Kołmogorowa]], zob. Współczesna''[[przestrzeń teoriaprobabilistyczna]]''; prawdopodobieństwadziś jestrachunek ściśleprawdopodobieństwa związanakorzysta intensywnie z metod [[teoria miary|teoriąteorii miary]] (prawdopodobieństwo definiuje się jako ''[[miara σ-skończona|miarę skończoną]]''), od której odróżnia je pojęcie ''[[zależność zmiennych losowych|niezależności]]''.
Kluczowymi wynikami teorii prawdopodobieństwa są ''[[prawo wielkich liczb|prawa wielkich liczb]]'' oraz ''[[centralne twierdzenie graniczne]]'' (w wielu wersjach) oddające intuicję powstawania pewnych prawidłowości i wzorów statystycznych przy wielokrotnym powtarzaniu doświadczeń losowych (pod pewnymi założeniami), mimo iż pojedyncze doświadczenia są zwykle zupełnie nieprzewidywalne: przykładem może być rzut symetryczną monetą, wyniku którego nie sposób przewidzieć, jednakże wraz ze wzrostem liczby (niezależnych) rzutów można zauważać zbliżanie się liczby awersów (bądź rewersów) do przewidywań teoretycznych (połowa wyników to awers/rewers) lub wszechobecność ''[[rozkład normalny|rozkładu normalnego]]'' w zastosowaniach probabilistyki (opisywanego przez tzw. ''krzywą dzwonową'' obrazującą regułę, iż najczęstsze są przypadki przeciętne i standardowe, zaś najrzadsze są przypadki ekstremalne, np. [[wzrost człowieka|wzrost]] większości dorosłych ludzi wynosi 140-200 cm, osób nie mieszczących się w tym przedziale jest znacznie mniej).
Pomimo że wynik pojedynczego rzutu monetą lub kością do gry często z praktycznego punktu widzenia można uważać za nieprzewidywalny, jeżeli eksperyment taki powtórzony zostaje wielokrotnie, mogą pojawić się pewne prawidłowości i wzory statystyczne, które można badać i przewidzieć. Dwa przykłady takich prawidłowości, i kluczowe osiągnięcia rachunku prawdopodobieństwa, to [[prawo wielkich liczb]] oraz [[centralne twierdzenie graniczne]].
== Definicja prawdopodobieństwa ==
* [[kombinatoryka]]
* [[statystyka]]
Prawdopodobieństwem nazywamy dowolną funkcję <math>\, P</math> o wartościach rzeczywistych, określoną na [[Przestrzeń mierzalna|σ-ciele]] zdarzeń <math>\mathcal{F} \subset 2^{\Omega}</math>, spełniającą warunki:
:(A1) <math>\, P(A) \ge 0</math> dla każdego <math>\, A \in \mathcal{F}</math>;
:(A2) <math>\, P(\Omega) = 1</math>;
:(A3) Jeśli <math>\, A_n \in \mathcal{F},\; n\in\mathbb{N}</math> oraz <math> A_i \cap A_j = \emptyset</math> dla <math>\, i \neq j</math>, to
<center><math>\, P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_i} \right) = \sum_{i=1}^{\infty}{P(A_i)}</math></center>
Warunki (A1-A3) zostały sformułowane przez Kołmogorowa w roku 1933 jako aksjomaty teorii prawdopodobieństwa.
Matematyczny model doświadczenia losowego to trójka
<center><math>\, (\Omega,\mathcal{F},P)</math></center>
gdzie <math>\, P</math> jest prawdopodobieństwem, określonym na pewnym σ-ciele <math>\, \mathcal{F}</math> podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych <math>\, \Omega</math>. Trójkę tę nazywamy [[Przestrzeń probabilistyczna|przestrzenią probabilistyczną]].
== Niektóre pojęcia z teorii prawdopodobieństwa ==
* [[aksjomaty Kołmogorowa]]
* [[prawdopodobieństwo]]
* [[Przestrzeń zdarzeń elementarnych|zdarzenie elementarne]]
* [[Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzenie losowe]]
* [[zmienna losowa]]
* [[Deska Galtona]]
* [[Kombinatoryka|Elementy kombinatoryki]]
* [[Statystyka]]
== Linki zewnętrzne ==
| 