|
'''Teoria prawdopodobieństwa''', (także '''rachunek prawdopodobieństwa''' lub '''probabilistyka''') – dział [[matematyka|matematyki]] zajmujący się badaniem zjawisk [[determinizm|niedeterministycznych]]zdarzenie nazywanychlosowe ''[[doświadczenie(teoria losoweprawdopodobieństwa)|doświadczeniamizdarzeniami losowymi]]'',. mianowicieRachunek ''szansy''prawdopodobieństwa uzyskaniazajmuje każdegosię zbadaniem możliwychabstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, rezultatówktóre nazywanychnie są [[zdarzeniedeterminizm|deterministyczne]]: losowe[[zmienna (teoria prawdopodobieństwa)losowa|zdarzeniamizmiennych losowymilosowych]], w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz tzw. ''[[proces stochastyczny|procesów stochastycznych]]'' w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Teoria prawdopodobieństwa stanowiJako matematyczny fundament [[statystyka|statystyki]], zajmującejteoria sięprawdopodobieństwa analiząodgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć [[fizyka|fizyki]] dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury [[zjawisko fizyczne|zjawisk fizycznych]] w skali mikroskopowejmikroskopijnej, opisywanejco zazaowocowało pomocąpowstaniem [[mechanika kwantowa|mechaniki kwantowej]].
PoczątkówMatematyczna rachunkuteoria prawdopodobieństwa należysięga doszukiwaćswoimi siękorzeniami w opracowaniachdo hazardowychanalizy [[gra losowa|gier losowych]], którymi zajmowali siępodjętej w [[XVII wiek|XVIIsiedemnastym wieku]] m.in.przez [[Pierre de Fermat]],a czyoraz [[Blaise Pascal]]a (zob. [[deskaZ Galtona]]).tego Początkowopowodu, badaniapoczątkowo skupioneteoria byłyprawdopodobieństwa zajmowała się niemal wyłącznie na zjawiskach zjawiskachzjawiskami [[zbiór dyskretny|dyskretnychdyskretnymi]], tj.i zajmowano się przede wszystkim zmiennymi losowymi o ''[[dyskretny rozkład prawdopodobieństwa|rozkładzie dyskretnym]]'', przez co probabilistyka korzystała w dużej mierze zużywała metod [[kombinatoryka|kombinatorycznych]]. Zmienne losowe o ''[[ciągły rozkład prawdopodobieństwaciągłość|rozkładzie ciągłymciągłe]]'' wprowadzonozostały wprowadzone do teorii prawdopodobieństwa znacznie później. Za początek stworzenia współczesnej probabilistykiteorii prawdopodobieństwa powszechnie uważa się jej [[aksjomat]]yzację, dokonanąktórej w [[1933]] roku przezdokonał [[Andriej Kołmogorow|Andrieja Kołmogorowa]], zob. ''[[przestrzeńWspółczesna probabilistyczna]]'';teoria dziśprawdopodobieństwa rachunekjest prawdopodobieństwaściśle korzysta intensywniezwiązana z metod [[teoria miary|teoriiteorią miary]] (prawdopodobieństwo definiuje się jako ''[[miara σ-skończona|miarę skończoną]]''), od której odróżnia je pojęcie ''[[zależność zmiennych losowych|niezależności]]''.
Pomimo że wynik pojedynczego rzutu monetą lub kością do gry często z praktycznego punktu widzenia można uważać za nieprzewidywalny, jeżeli eksperyment taki powtórzony zostaje wielokrotnie, mogą pojawić się pewne prawidłowości i wzory statystyczne, które można badać i przewidzieć. Dwa przykłady takich prawidłowości, i kluczowe osiągnięcia rachunku prawdopodobieństwa, to [[prawo wielkich liczb]] oraz [[centralne twierdzenie graniczne]].
Kluczowymi wynikami teorii prawdopodobieństwa są ''[[prawo wielkich liczb|prawa wielkich liczb]]'' oraz ''[[centralne twierdzenie graniczne]]'' (w wielu wersjach) oddające intuicję powstawania pewnych prawidłowości i wzorów statystycznych przy wielokrotnym powtarzaniu doświadczeń losowych (pod pewnymi założeniami), mimo iż pojedyncze doświadczenia są zwykle zupełnie nieprzewidywalne: przykładem może być rzut symetryczną monetą, wyniku którego nie sposób przewidzieć, jednakże wraz ze wzrostem liczby (niezależnych) rzutów można zauważać zbliżanie się liczby awersów (bądź rewersów) do przewidywań teoretycznych (połowa wyników to awers/rewers) lub wszechobecność ''[[rozkład normalny|rozkładu normalnego]]'' w zastosowaniach probabilistyki (opisywanego przez tzw. ''krzywą dzwonową'' obrazującą regułę, iż najczęstsze są przypadki przeciętne i standardowe, zaś najrzadsze są przypadki ekstremalne, np. [[wzrost człowieka|wzrost]] większości dorosłych ludzi wynosi 140-200 cm, osób nie mieszczących się w tym przedziale jest znacznie mniej).
== Definicja prawdopodobieństwa ==
Prawdopodobieństwem nazywamy dowolną funkcję <math>\, P</math> o wartościach rzeczywistych, określoną na [[Przestrzeń mierzalna|σ-ciele]] zdarzeń <math>\mathcal{F} \subset 2^{\Omega}</math>, spełniającą warunki:
:(A1) <math>\, P(A) \ge 0</math> dla każdego <math>\, A \in \mathcal{F}</math>;
:(A2) <math>\, P(\Omega) = 1</math>;
:(A3) Jeśli <math>\, A_n \in \mathcal{F},\; n\in\mathbb{N}</math> oraz <math> A_i \cap A_j = \emptyset</math> dla <math>\, i \neq j</math>, to
<center><math>\, P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_i} \right) = \sum_{i=1}^{\infty}{P(A_i)}</math></center>
Warunki (A1-A3) zostały sformułowane przez Kołmogorowa w roku 1933 jako aksjomaty teorii prawdopodobieństwa.
Matematyczny model doświadczenia losowego to trójka
<center><math>\, (\Omega,\mathcal{F},P)</math></center>
gdzie <math>\, P</math> jest prawdopodobieństwem, określonym na pewnym σ-ciele <math>\, \mathcal{F}</math> podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych <math>\, \Omega</math>. Trójkę tę nazywamy [[Przestrzeń probabilistyczna|przestrzenią probabilistyczną]].
== Niektóre pojęcia z teorii prawdopodobieństwa ==
* [[aksjomaty Kołmogorowa]]
* [[prawdopodobieństwo]]
* [[Przestrzeń zdarzeń elementarnych|zdarzenie elementarne]]
* [[przestrzeń probabilistyczna]] (''aksjomaty Kołmogorowa'')
* [[Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzenie losowe]]
* [[kombinatoryka]]
* [[statystykazmienna losowa]]
* [[Deska Galtona]]
* [[Kombinatoryka|Elementy kombinatoryki]]
* [[Statystyka]]
== Linki zewnętrzne ==
| 