Rozmaitość różniczkowalna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 1:
Przestrzeń topologiczną <math>\mathbb{X}^{n}, n=0,1,\ldots </math>, nazywamy ''rozmaitością <math>n-\ </math>wymiarową'', jeśli dla każdego punktu <math>x\in \mathbb{X}^{n}</math> istnieje otwarte i spójne otoczenie <math>U\ </math>, <math>x\in U \subset \mathbb{X}^{n}</math>, oraz [[homeomorfizm]] <math>\phi\colon U\to \phi(U)</math> tego otoczenia <math>U\ </math> na otwarty zbiór <math>\phi(U)\ </math> przestrzeni wektorowej n-wymiarowej
<math>\mathbb{R}^{n}</math> nad ciałem <math>\mathbb{R}</math> liczb rzeczywistych. Homeomorfizm taki nazywamy mapą rozmaitości <math>\mathbb{X}^{n}</math>.
Linia 44 ⟶ 43:
tak, że definicja funkcji <math>f(x)\ </math> nie zależy od wyboru mapy <math>\phi_l\ </math> <math>(x\in U_l)\ </math>.
Zauważmy od razu <math>f\ </math> ''jest ciągła na <math>\mathbb{X}^n\ </math> wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej przedstawienia <math>f_l\ </math> w mapach są funkcjami ciągłymi.''
Analogicznie będziemy także badać różniczkowalność funkcji <math>f\ </math> na <math>\mathbb{X}^n</math> za pomocą jej przedstawień w mapach niech <math>x_0\in U_l</math>; można powiedzieć,
że <math>f\ </math> jest różniczkowalna w punkcie <math>x_0\ </math>, gdy <math>f_l\ </math> jest różniczkowalna w punkcie <math>(x_0^i)=\phi_l(x_0)\in\mathbb{R}^n</math>.
Dla <math>x_0\in U_l \cap U_\chi</math> nie wynika na ogół z (8) różniczkowalność <math>{f_\chi}\ </math>
w punkcie <math>(x_0^{i'})=\phi_\chi(x_0)</math>, bo wprawdzie przekształcenia współrzędnych <math>\phi_{l \chi}\ </math> są homeomorfizmami, lecz wcale nie muszą być różniczkowalne.
Jeśli pojęcie różniczkowalności ma mieć sens niezależny od mapy, czyli od wyboru układu współrzędnych, trzeba zawęzić pojęcie rozmaitości i zażądać,
aby wszystkie przekształcenia współrzędnych <math>\phi_{l \chi}\ </math> były dostatecznie wiele razy różniczkowalne w sposób ciagły.
Wtedy różniczkowalność <math>f_\chi\ </math> będzie wynikała z różniczkowalności <math>f_l\ </math> oraz <math>\phi_{l \chi}\ </math> na mocy (8) i reguły łańcuchowej dla pochodnych funkcji złożonych.
== Przykłady ==
| |||