Wikipedia

Zbiór wypukły: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Mateusz.bot (dyskusja | edycje)
15 009 edycji
m →‎Przykłady: Bot poprawia przekierowanie
drobne redakcyjne
Linia 1:
[[Plik:Wielokąt wypukły.svg|thumb|Pięciokąt wypukły.]]▼
{{Spis treści}}
[[Plik:Zbiory niewypukłe.svg|thumb|Przykłady zbiorów, które nie są wypukłe.]]
'''Zbiór wypukły''' – intuicyjnie, podzbiór pewnej [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]], o tej własności, że dowolny [[odcinek]], którego końce należą do tego zbioru, w całości się w nim zawiera.
[[Plik:Czworokąt wklęsły.svg|thumb|Czworokąt wklęsły.]]▼
'''Zbiór wypukły''' – pojęcie [[geometria|geometryczne]], [[podzbiór]] pewnej przestrzeni zawierający wraz dowolnymi dwoma jego punktami [[odcinek]] je łączący. Wspomniana przestrzeń może być [[przestrzeń euklidesowa|euklidesowa]], [[przestrzeń afiniczna|afiniczna]], a nawet tylko [[przestrzeń liniowa|liniowa]] (wektorowa); we wszystkich przypadkach wymaga się, by [[ciało (matematyka)|ciało]] [[skalar (matematyka)|skalarów]] było [[ciało uporządkowane|uporządkowane]], zwykle jest to ciało [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], bądź [[liczby zespolone|liczb zespolonych]].
 
Zbiór <math>\scriptstyle C</math> przestrzeni liniowej (nad ciałem uporządkowanym) nazywa się '''wypukłym''', jeżeli dla dowolnych dwóch wektorów <math>\scriptstyle \mathbf x, \mathbf y</math> oraz dla dowolnych skalarów <math>\scriptstyle a, b \geqslant 0,</math> dla których <math>\scriptstyle a + b = 1</math> zachodzi
[[Pojęcie]] odcinka może być zdefiniowane rozmaicie, jednak [[definicja]] zbioru wypukłego pozostaje bez zmian. Formalna definicja może się obejść bez tego pojęcia i jest uogólniona na przypadek [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]], a nawet [[przestrzeń afiniczna|afinicznej]] nad ciałem liczb rzeczywistych.
: <math>a \mathbf x + b\mathbf y \in C.</math>
 
Spotyka się również równoważne warianty tej definicji, np. dla dowolnych dwóch wektorów <math>\scriptstyle \mathbf x, \mathbf y</math> oraz dla dowolnego skalara <math>\scriptstyle a</math> przebiegającego do [[przedział jednostkowy]] <math>\scriptstyle [0, 1]</math> musi zachodzić
=== Definicja ===
: <math>a \mathbf x + (1 - a) \mathbf y \in C;</math>
Niech <math>X</math> będzie przestrzenią liniową nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]. Zbiór <math>W\subseteq X</math> nazywamy '''wypukłym''', gdy
w przestrzeniach afinicznych (każda przestrzeń liniowa jest przestrzenią afiniczną stowarzyszoną sama ze sobą) ostatni warunek można zastąpić następującym
: <math>\forall_{x_1, x_2\in W}\ \forall_{\begin{smallmatrix}\alpha_1, \alpha_2\geqslant 0 \\ \alpha_1+\alpha_2=1\end{smallmatrix}}(\alpha_1x_1+\alpha_2x_2)\in W</math>
: <math>\mathrm y + a(\mathrm x - \mathrm y) \in C.</math>
 
Zbiór, który nie jest wypukły nazywa się '''wklęsłym''' lub ''niewypukłym''. Wektor (punkt) nazywa się '''ekstremalnym''', jeżeli nie należy on do wnętrza żadnego odcinka zawartego w zbiorze <math>\scriptstyle C.</math>
Niech <math>X</math> będzie przestrzenią afiniczną nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]. Zbiór <math>W\subseteq X</math> nazywamy '''wypukłym''', gdy
: <math>\forall_{x_1, x_2\in W} \ \forall_{0 \leqslant \alpha \leqslant 1} \ (x_1+\alpha \overrightarrow{x_1x_2})\in W</math>
 
=== Przykłady ===▼
==== Punkty ekstremalne ====
Przykładami zbiorów wypukłych na [[geometria euklidesowa|płaszczyźnie euklidesowej]] są: cała [[płaszczyzna]], [[półpłaszczyzna]], [[koło (geometria)|koło]], [[kwadrat (geometria)|kwadrat]], [[trójkąt]], [[odcinek]], [[prostokąt]], każdy [[wielokąt foremny]]. [[Kąt płaski]] jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy jego miara jest mniejsza bądź równa mierze kąta półpełnego (w tym [[kąt prosty]]) lub równa mierze kąta pełnego (zob. [[kąty#Klasyfikacja|klasyfikacja kątów]]).
Punkt <math>x\in W</math> nazywamy punktem ekstremalnym zbioru <math>W</math>, jeśli nie należy on do wnętrza żadnego odcinka zawartego w zbiorze <math>W</math>. Innymi słowy, punkt <math>x\in W</math> jest ekstremalny jeśli <math> x= \alpha x_1 + (1-\alpha)x_2 \Rightarrow x_1=x \vee x_2=x</math>.
 
Zbiór zawierający pojedynczy [[punkt (geometria)|punkt]] również jest wypukły, przy punkt ten jest ekstremalny. Punktami ekstremalnymi są również wierzchołki wielokątów wypukłych, podobnie jak każdy punkt [[okrąg|okręgu]] danego koła. W przestrzeni trójwymiarowej zbiorami wypukłymi są m.in. [[kula]], [[sześcian (geometria)|sześcian]], [[stożek (bryła)|stożek]], czy [[prostopadłościan]].
Intuicyjnie, punkty ekstremalne to "wierzchołki" zbioru wypukłego – ale nie tylko – np. każdy punkt brzegu koła jest punktem ekstremalnym.
 
Każdy [[zbiór skończony|skończony]] zbiór punktów o co najmniej dwóch elementach oraz każdy [[okrąg]] są zbiorami wklęsłymi.; Przykładami niewypukłychprzykładami brył niewypukłych są: n.in. [[sfera]], [[torus (matematyka)|torus]].▼
▲=== Przykłady ===
Przykłady zbiorów wypukłych na płaszczyźnie: [[płaszczyzna]], [[półpłaszczyzna]], [[kąt ostry]], [[kąt prosty]], [[koło (geometria)|koło]], [[kwadrat (geometria)|kwadrat]], [[trójkąt]], [[odcinek]], [[prostokąt]], każdy [[wielokąt foremny]]. Pojedynczy [[punkt (geometria)|punkt]] też jest zbiorem wypukłym i zarazem punktem ekstremalnym.
[[Część wspólna]] zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym, choć ich [[suma zbiorów|suma]] nie musi być wypukła. Dla wielościanów wypukłych prawdziwe jest [[twierdzenie Eulera o wielościanach]], które mówi suma jego wierzchołków oraz ścian jest równa liczbie jego krawędzi pomniejszonej o dwa.
Wierzchołki wielokątów wypukłych są ich punktami ekstremalnymi.
 
▲[[Plik:Wielokąt wypukły.svg]]
 
W przestrzeni natomiast bryłami wypukłymi są np. [[kula]], [[sześcian (geometria)|sześcian]], [[Stożek (bryła)|stożek]], [[prostopadłościan]].
 
Zbiór nie będący wypukłym nazywa się '''wklęsłym''' lub '''niewypukłym'''. Zbiorami niewypukłymi są takie zbiory jak:
 
[[Plik:Zbiory niewypukłe.svg]]
▲[[Plik:Czworokąt wklęsły.svg]]
 
▲Każdy skończony zbiór punktów o co najmniej dwóch elementach oraz każdy [[okrąg]] są zbiorami wklęsłymi. Przykładami niewypukłych brył są: [[sfera]], [[torus (matematyka)|torus]].
 
[[Kąt płaski]] jest wypukły wtedy i tylko wtedy gdy jego miara jest mniejsza bądź równa <math>\pi</math> lub gdy jest pełny.
 
=== Właściwości ===
[[Przekrój (matematyka)|Część wspólna]] dowolnie wielu zbiorów wypukłych jest znów zbiorem wypukłym, ale [[suma zbiorów|suma]] zbiorów wypukłych nie musi być zbiorem wypukłym.
 
Dla wielościanów wypukłych prawdziwe jest [[twierdzenie Eulera o wielościanach]], które mówi, że <math>S+W-K=2</math>, gdzie <math>S</math> to liczba ścian, <math>W</math> to liczba wierzchołków a <math>K</math> liczba krawędzi.
 
== Zobacz też ==
* [[wypukłość funkcji|funkcja wypukła]], [[nierówność Jensena]]
* [[kombinacja wypukła]], [[otoczka wypukła]]
* [[przestrzeń jednostajnie wypukła]]
* [[przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła]]
 
[[Kategoria:Zbiory wypukłe]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Zbiór_wypukły”