Wyznacznik macierzy stopnia drugiego dany jest wzorem
: <math>\det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc.</math>
Wyznacznik macierzy stopnia trzeciego można obliczyć za pomocą ''[[reguła Sarrusa|reguły Sarrusa]]'', podczas gdy ''wzór Leibniza'' (znany również jako permutacyjna definicja wyznacznika) uogólnia te wzory na macierze dowolnych stopni. [[Twierdzenie Cauchy'ego (teoria wyznaczników)|Twierdzenie Cauchy'ego o wyznacznikach]] mówi, że wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników, <math>\scriptstyle \det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf A) \det(\mathbf B).</math> Dodanie wielokrotności dowolnego wiersza do innego (kolumny do innej) nie zmienia wartości wyznacznika; zamiana miejscami dwóch wierszy (kolumn) zmienia znak wyznacznika na przeciwny (zob. Za[[operacje pomocą tychelementarne#Własności|własności operacji możnaelementarnych]])). przekształcićKorzystając z tych operacji dowolną macierz można przekształcić w macierz dolno- lub górnotrójkątną, a wyznacznik tego rodzaju macierzy jest równy iloczynowi elementów na przekątnej głównej (w szczególności jest to prawda dla macierzy diagonalnych). [[Rozwinięcie Laplace'a]] umożliwia wyrażenie wyznacznika za pomocą ''[[minor]]ów'', tzn. wyznaczników podmacierzy głównych (twierdzenie to umożliwia rekurencyjne zdefiniowanie wyznacznika począwszy od wyznacznika macierzy stopnia pierwszego jako jej jedynego elementu, czy nawet wyznacznika macierzy zerowego stopnia równego z definicji jedności<ref>Zob. sekcję ''[[#Macierze nieskończone i puste|Macierze puste]]''</ref>). Minory podmacierzy głównej (tzn. zawierające elementy głównej przekątnej) nazywa się ''minorami głównymi''; gdy minor główny zawiera kolejne, począwszy od pierwszego, elementy głównej przekątnej, nazywa się go ''wiodącym minorem głównym''. Wśród wszystkich niezerowych minorów tej macierzy istnieje choć jeden o największym stopniu; rząd macierzy wyznaczony jest przez stopień tego minoru (nie przekracza więc liczby jej wierszy, czy kolumn). Każdy niezerowy minor macierzy stopnia równego jej rzędowi nazywa się ''minorem bazowym'' tej macierzy. Wyznaczniki stosuje się także do rozwiązywania układów równań liniowych za pomocąmetodą [[wzory Cramera|wzorów Cramera]], gdzie iloraz wyznaczników dwóch powiązanych macierzy kwadratowych jest równy wartości każdej ze zmiennych układu.
