|
Niech:
Niech <math>f_1,f_2,...:(\Omega,\mathcal{F})\to (\overline{\Bbb R},\overline{\mathcal{B}}) </math> będą [[funkcja mierzalna|funkcjami mierzalnymi]]. ▼(* <math>\mathcal { F }</math> -będzie [[sigma-ciało |σ-ciałem]] [[podzbiór|podzbiorów ]] pewnej [[przestrzeń|przestrzeni]] <math>\Omega \ </math>, ▼* <math>\mathcal { B,\;\mathcal B }^+</math> - ''&sigma ;''- ciałociałami [[zbiór borelowski|zbiorów borelowskich ]] odpowiednio na <math> \ Bbbmathbb R </math> oraz <math>\mathbb R^+</math> ),▼
* <math>\overline{\ Bbbmathbb R^ {+} } = \ Bbbmathbb R \cup \{+\infty \}, \;\overline{\mathcal { B^ {+} }} = \langle {\mathcal B^ {+ }} \cup \{+\infty \} \rangle</math> ) taka, że:▼
▲Niech* <math>f_1,f_2,...:(\Omega,\mathcal { F }) \to (\overline{\Bbb R},\overline {\mathcal { B }}) </math> będą [[funkcja mierzalna|funkcjami mierzalnymi]] .,
Jeżeli* istnieje funkcja <math> g:(\Omega,\mathcal { F }) \to (\overline{\ Bbbmathbb R^ {+ }}, \overline{\mathcal { B }^ {+ }}) </math> taka, że <math>|f_n| \le g \;</math> ''μ''-prawie wszędzie, gdzie <math>\int_\Omega g\;d\mu < +\infty</math> ▼* <math>\lim_{n \to \infty} f_n = f</math> ''μ''-prawie wszędzie.
▲(<math>\mathcal{F}</math> - [[sigma-ciało]] podzbiorów <math>\Omega \ </math>,
▲<math>\mathcal{B}</math> - sigma-ciało zbiorów borelowskich na <math> \Bbb R </math>)
Wtedy:
▲Jeżeli istnieje funkcja <math> g:(\Omega,\mathcal{F}) \to (\overline{\Bbb R^{+}},\overline{\mathcal{B}^{+}}) </math>
(<math>\mathcal{B^{+}}</math> - sigma-ciało zbiorów borelowskich na <math> \Bbb R^{+},
▲\overline{\Bbb R^{+}}=\Bbb R \cup \{+\infty \},\overline{\mathcal{B^{+}}}=\langle {\mathcal B^{+}}\cup \{+\infty \} \rangle</math>) taka, że:
<math> |f_n| \le g </math> <math>\mu </math> - prawie wszędzie, gdzie <math> \int_\Omega g d \mu < + \infty </math> oraz <math> \lim_{n \to \infty} f_n = f</math> <math> \mu</math> - prawie wszędzie, to
i)* <math>f</math> jest [[całka Lebesgue'a|całkowalna w sensie Lebesgue'a]],
ii)* <math> \lim_{n \to \infty} \int_\Omega f_n \;d \mu = \int_\Omega f \;d \mu </math> .▼
▲ii) <math> \lim_{n \to \infty} \int_\Omega f_n d \mu = \int_\Omega f d \mu </math>
==Przykład==
Niech <math>\Omega = [0,1], \mathcal{F}=\mathcal B |_{[0,1]}</math> oraz <math>l</math> będzie [[miara Lebesgue'a|miarą Lebesgue'a]]. Jeżeli <math>f_n(x) = n \chi_{[0,1]}</math>, gdzie <math>\chi</math> jest [[funkcja charakterystyczna|funkcją charakterystyczną]].
'''Nie''' można opuścić założenia o wspólnym ograniczeniu: ▼
<math>\Omega = [0,1], \mathcal{F}=\mathcal{B} |_{[0,1]},l</math> - [[miara Lebesgue'a]]
<math> f_n (x) = n \mathbf{1}_{[0,1]} </math>
Wtedy <math> f_n (x) \to 0 </math> dla <math> x \in (0,1] </math>, tzn. <math> f_n \to 0 </math> przy <math> n \to \infty </math> ''l''-prawie wszędzie, natomiast <math>l\int f_n\;dl = nl\left(\left[0,{1 \over n}\right)\right) = n {1 \over n} = 1 \not\to 0=\int 0\;dl</math>-prawie wszędzie,.
▲A więc ''' Nienie można''' można opuścićpominąć założenia o wspólnym ograniczeniu : tych funkcji.
natomiast <math>\int f_n dl = nl([0,\frac{1}{n}))=n \frac{1}{n}=1 \not\to 0=\int 0 dl </math>
==Zobacz też==
* [[Całka Lebesgue'a]],
* [[Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej]],
* [[Lematlemat Fatou]].
[[de:Satz von der majorisierten Konvergenz]]
| 