Ortogonalizacja Grama-Schmidta: Różnice pomiędzy wersjami

Ponieważ ortogonalny układ wektorów jest liniowo niezależny, a każdy z wektorów <math>\mathbf{u}_i</math> jest kombinacją liniową elementów z bazy <math>\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k</math>, więc tak wyznaczone wektory <math>\mathbf{u}_1,\dots ,\mathbf{u}_k</math> istotnie są bazą.

 

Rozważmy zbiór wektorów w '''R'''² (ze standardowym iloczynem skalarnym):

: <math>S = \left\lbrace\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix} 3 \\ 1\end{bmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}2 \\2\end{bmatrix}\right\rbrace.</math>

= {1\over\sqrt{10}} \begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}. </math>

 

W przestrzeni wielomianów <math>R[x]</math> wielomiany postaci <math>x^k</math> stanowią bazę. Iloczyn skalarny w tej przestrzeni można wprowadzić np. w ten sposób:

:<math>\langle f,g\rangle _w = \int\limits_{-1}^1 f(x) g(x) dx\ \ \ f,g\in R[x] </math>