Paradoks zbioru wszystkich zbiorów: Różnice pomiędzy wersjami

Wedle [[twierdzenie Cantora|twierdzenia Cantora]] można udowodnić, że [[zbiór potęgowy]] dowolnego [[zbiór|zbioru]] X (zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X) nie może się zawierać w X, gdyż nie istnieje nawet [[surjekcja]] <math>X \to 2^X</math>, która jako taka jest warunkiem koniecznym by jeden zbiór był zawarty w drugim. Warto tu także zwrócić uwagę,że uwzględnienie [[Moc_zbioru#Hierarchia_liczb_kardynalnych|hierarchii liczb kardynalnych]] prowadzi do wniosku,iż <math>|X| \leqslant |2^X|</math>, jednak przez wzgląd na brak [[Bijekcja|bijekcji]] (każda bijekcja jest suriekcją) zachodzi po prostu <math>|X| < |2^X|</math>. Oczywiście zbiory nieskończenie liczne nie stanowią wyjątku.

 

 

Niemożność ujęcia wszystkich zbiorów w zbiór była o tyle paradoksalna, iż twórcy teorii mnogości nie widzieli żadnych podstaw, aby jej uniknąć. W końcu okazało się, że problem leżał w nieścisłym określeniu pojęcia zbioru. Skuteczna aksjomatyka teorii mnogości pozwoliła zbudować spójną teorię wolną od paradoksów.