Grupa prosta: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
wstawienie {{Kontrola autorytatywna}} |
Funkcja sugerowania linków: dodane 2 linki. |
||
Linia 5:
== Przykład ==
* [[Grupa cykliczna]] '''Z<sub>3</sub>''' jest prosta. Jeśli ''H'' jest podgrupą tej grupy, to jej [[rząd (teoria grup)|rząd]] (liczba elementów) musi być dzielnikiem 3 (rzędu ''G''). Ponieważ 3 jest liczbą pierwszą, jej jedynymi dzielnikami są 1 i 3, więc ''H'' jest albo trywialna albo równa ''G''. Przykładem grupy która nie jest prosta jest '''Z<sub>12</sub>'''. Podgrupa składająca się z elementów 0, 4 i 8 jest podgrupą rzędu 3 i jest dzielnikiem normalnym '''Z<sub>12</sub>''', ponieważ jest [[grupa przemienna|przemienna]].
* Podobnie grupa addytywna '''Z''' (wszystkich liczb calkowitych) nie jest prosta – zbiór [[Parzystość liczb|liczb parzystych]] jest jej nietrywialną podgrupą normalną.
* Analogiczne rozumowanie można zastosować do wszystkich grup przemiennych, i pokazać że jedynymi grupami przemiennymi, które są proste, są grupy cykliczne o liczbie elementów będącej [[liczby pierwsze|liczbą pierwszą]].
* [[Grupy Mathieu]].
Linia 12:
Klasyfikacja nieprzemiennych grup prostych jest znacznie bardziej skomplikowana. Najmniejszą z takich grup jest [[grupa alternująca]] '''A<sub>5</sub>''' i można pokazać że każda grupa prosta rzędu 60 jest z nią [[izomorfizm|izomorficzna]].
Grupy proste stanowią "klocki" z których zbudowane są wszystkie grupy skończone, w podobnym znaczeniu jak liczby pierwsze stanowią klocki z których zbudowane są wszystkie [[liczby naturalne]]. [[Klasyfikacja skończonych grup prostych]], zakończona w 1982 roku, jest jednym z największych dotychczas zrealizowanych projektów w matematyce.
[[Twierdzenie Feita–Thompsona]] mówi, że każda grupa nieparzystego rzędu jest [[grupa rozwiązalna|rozwiązalna]]. Wynika z tego że każda skończona grupa prosta jest grupą cykliczną o rzędzie pierwszym albo ma rząd parzysty.
| |||