Wikipedia

Wzór Eulera-Maclaurina: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
do zrobienia: linki, ew. literówki
m poprawki
Linia 1:
W [[matematyka | matematyce]], '''wzór Eulera-Maclaurina''' daje silne połączenie między liczbami całkowitymi (zobacz [[Teoriarachunek obliczeńróżniczkowy i całkowy]]) a sumami. Może być użyty do przybliżania liczb całkowitych przez skończone sumy lub odwrotnie; do oszacowywania skończonych sum i nieskończonych serii liczbami całkowitymi i operacjami liczbowymirachunku różniczkowego. Wzór został odkryty niezależnie przez[[Leonhard Euler | Leonharda Eulera]] i [[Colin Maclaurin | Colina Maclaurina]] około [[1735]]. Euler potrzebował go do obliczenia wolno zbiegających nieskończonych serii podczas gdy Maclaurin wykorzystał go do obliczania liczb całkowitych.
 
Jeśli ''n'' jest [[liczba naturalna |liczbą naturalną]] i ''f''(''x'') jest gładką (tzn. wystarczająco często [[funkcja różniczkowalna|różniczkowalną]]) [[funkcja|funkcją]] zdefiniowaną dla wszystkich [[liczba rzeczywista|liczb rzeczywistych]] ''x'' pomiędzy 0 i ''n'', wtedy całka
Linia 31:
Wykorzystując [[reguła zastępowania|regułę zastępowania]], można zaadaptować ww. wzór również dla funkcji ''f'' zdefiniowanych na innych [[przedział (matematyka)|przedziałach]] na osi rzeczywistej.
Jeśli ''f'' jest [[wielomian]]em oraz ''p'' jest wystarczająco duże, to wyraz reszty znika.
Np. jeśli ''f''(''x'') = ''x''<sup>3</sup>, możemy podstawić ''p'' = 2 by otrzymać (po uproszczeniu)
:<math>\sum_{i=0}^n i^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.</math>
 
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Wzór_Eulera-Maclaurina”