Twierdzenie Myhilla-Nerode’a

Twierdzenie Myhilla-Nerode’a – twierdzenie w teorii języków formalnych podające konieczne i dostateczne warunki na to, by dany język był regularny. Zostało udowodnione w 1958 roku przez Johna Myhilla i Anila Nerode’a.

Twierdzenie

edytuj

Niech   będzie językiem nad alfabetem   Zdefiniujmy relację sufiksowej nieodróżnialności   następująco:   wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego słowa     wtedy i tylko wtedy, gdy  

Twierdzenie Myhilla-Nerode’a orzeka, że język L jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy relacja   dzieli   na skończenie wiele klas abstrakcji. Dodatkowo, jeśli L jest regularny, to liczba stanów minimalnego deterministycznego automatu skończonego rozpoznającego L jest równa liczbie klas abstrakcji relacji  

Nieformalnie, jeśli język L jest regularny, to klasy abstrakcji relacji   odpowiadają stanom automatu skończonego rozpoznającego L. Innymi słowy   „skleja” ze sobą słowa, których „przyszłości” z punktu widzenia zachowania automatu są identyczne. Intuicyjnie, jeśli klas abstrakcji jest nieskończenie wiele, to automat rozpoznający L musiałby mieć nieskończenie wiele stanów, co jest niemożliwe.

Przykłady

edytuj
  • język   nie jest regularny – rozpatrzmy bowiem dwa słowa:   oraz   dla   Jeśli teraz podstawimy   oraz   to sufiks (postfiks)   rozróżnia te dwa słowa, gdyż   oraz   Zatem relacja   ma zatem nieskończenie wiele klas abstrakcji, czyli L nie jest regularny.