Uogólniona funkcja logistyczna

Uogólniona funkcja (lub krzywa) logistyczna – funkcja generująca krzywe w kształcie litery S. Jest rozszerzeniem funkcji logistycznej. Została opracowana jako model wzrostu populacji i rozprzestrzeniania się zjawisk przez biologa F. J. Richardsa w 1959, stąd czasem nazywana jest krzywą Richardsa^[1]^[2].

Efekt zmiany parametru A. Wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Efekt zmiany parametru B. A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Efekt zmiany parametru C. A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Efekt zmiany parametru K. A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Efekt zmiany parametru Q. A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Wpływ zmiany parametru $\nu$ . A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Definicja

Uogólniona funkcja logistyczna ma następującą postać^[3]:

Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-Bt})^{1/\nu }}

Gdzie $Y$ to wybrana miara badanego zjawiska, zaś $t$ to czas. Krzywa ma sześć parametrów:

$A$ – lewa asymptota pozioma;
$K$ – prawa asymptota pozioma, jeżeli $C=1$ ; jeśli $A=0$ i $C=1$ , $K$ nazywa się pojemnością środowiska;
$B$ – tempo wzrostu;
$\nu >0$ – parametr wpływający na to, w pobliżu której asymptoty występuje maksymalny wzrost.
$Q$ – parametr powiązany z wartością $Y(0)$
$C$ – parametr zazwyczaj przyjmujący wartość 1. W przeciwnym razie prawa asymptota to $A+{K-A \over C^{\,1/\nu }}$

Równanie może również być zapisane w formie:

Y(t)=A+{K-A \over (C+e^{-B(t-M)})^{1/\nu }}

gdzie $M$ może być traktowane jako moment początkowy, w którym $Y(M)=A+{K-A \over (C+1)^{1/\nu }}$ .

Wreszcie, zapis zawierający zarówno parametr $Q$ , jak i $M$ może okazać się wygodny:

Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-B(t-M)})^{1/\nu }}

Takie sformułowanie ułatwia ustawienie zarówno czasu początkowego, jak i wartości $Y$ w tym czasie.

Jeżeli $Q=\nu =1$ , otrzymamy funkcję logistyczną z punktem przegięcia w czasie $M$ .

Równanie różniczkowe

Szczególnym przypadkiem uogólnionej funkcji logistycznej jest:

Y(t)={K \over (1+Qe^{-\alpha \nu (t-t_{0})})^{1/\nu }}

,

co jest rozwiązaniem równania różniczkowego Richardsa (RDE):

Y^{\prime }(t)=\alpha \left(1-\left({\frac {Y}{K}}\right)^{\nu }\right)Y

z warunkiem początkowym

Y(t_{0})=Y_{0}

gdzie

Q=-1+\left({\frac {K}{Y_{0}}}\right)^{\nu }

pod warunkiem że $\nu >0$ i $\alpha >0$

Klasyczne logistyczne równanie różniczkowe jest szczególnym przypadkiem powyższego równania, gdzie $\nu$ = 1, natomiast krzywą Gompertza można odzyskać w granicy $\nu \rightarrow 0^{+}$ pod warunkiem że:

\alpha =O\left({\frac {1}{\nu }}\right)

W rzeczywistości dla małego $\nu$

Y^{\prime }(t)=Yr{\frac {1-\exp \left(\nu \ln \left({\frac {Y}{K}}\right)\right)}{\nu }}\approx rY\ln \left({\frac {Y}{K}}\right)

Równanie różniczkowe Richardsa umożliwia modelowanie wielu zjawisk wzrostu, pojawiających się w takich dziedzinach, jak onkologia i epidemiologia.

Gradient uogólnionej funkcji logistycznej

Przy estymacji parametrów na podstawie danych często konieczne jest obliczenie pochodnych cząstkowych funkcji logistycznej względem parametrów w danym punkcie danych $t$ (patrz^[4]). Jeżeli $C=1$ , mamy:

{\begin{aligned}\\{\frac {\partial Y}{\partial A}}&=1-(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial K}}&=(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial B}}&={\frac {(K-A)(t-M)Qe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial \nu }}&={\frac {(K-A)\ln(1+Qe^{-B(t-M)})}{\nu ^{2}(1+Qe^{-B(t-M)})^{\frac {1}{\nu }}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial Q}}&=-{\frac {(K-A)e^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial M}}&=-{\frac {(K-A)QBe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\end{aligned}}

Specjalne przypadki

Następujące funkcje są konkretnymi przypadkami krzywych Richardsa:

Przypisy

↑ F.J.F.J. Richards F.J.F.J., A Flexible Growth Function for Empirical Use, „Journal of Experimental Botany”, 10 (2), 1959, s. 290–301, DOI: 10.1093/jxb/10.2.290, ISSN 0022-0957 [dostęp 2024-06-21] (ang.).
↑ MarcoM. Mingione MarcoM. i inni, Spatio-temporal modelling of COVID-19 incident cases using Richards’ curve: An application to the Italian regions, „Spatial Statistics”, 49, Spatio-temporal spread of Covid patterns: its spread, causes and scale, 2022, s. 100544, DOI: 10.1016/j.spasta.2021.100544, ISSN 2211-6753, PMID: 36407655, PMCID: PMC9643104 [dostęp 2024-06-21] .
↑ PiotrP. Dyga PiotrP., Przetwarzanie informacji obrazowej [online], 2022 .
↑ Desta Fekedulegn, Mairitin P. Mac Siurtain. Parameter Estimation of Nonlinear Growth Models in Forestry. „Silva Fennica”. 33 (4), s. 327–336, 1999. DOI: 10.14214/sf.653. [zarchiwizowane z adresu].

Bibliografia

F. J. Richards. A Flexible Growth Function for Empirical Use. „Journal of Experimental Botany”. 10 (2), s. 290–300, 1959. DOI: 10.1093/jxb/10.2.290.
J. S. Pella. A Generalised Stock-Production Model. „Bull. Inter-Am. Trop. Tuna Comm”. 13, s. 421–496, 1969.
Y. C. Lei. Features and Partial Derivatives of Bertalanffy–Richards Growth Model in Forestry. „Nonlinear Analysis: Modelling and Control”. 9 (1), s. 65–73, 2004. DOI: 10.15388/NA.2004.9.1.15171.

[1] F.J.F.J. Richards F.J.F.J., A Flexible Growth Function for Empirical Use, „Journal of Experimental Botany”, 10 (2), 1959, s. 290–301, DOI: 10.1093/jxb/10.2.290, ISSN 0022-0957 [dostęp 2024-06-21] (ang.).

[2] MarcoM. Mingione MarcoM. i inni, Spatio-temporal modelling of COVID-19 incident cases using Richards’ curve: An application to the Italian regions, „Spatial Statistics”, 49, Spatio-temporal spread of Covid patterns: its spread, causes and scale, 2022, s. 100544, DOI: 10.1016/j.spasta.2021.100544, ISSN 2211-6753, PMID: 36407655, PMCID: PMC9643104 [dostęp 2024-06-21] .

[3] PiotrP. Dyga PiotrP., Przetwarzanie informacji obrazowej [online], 2022 .

[fekedulegn1999parameter-4] Desta Fekedulegn, Mairitin P. Mac Siurtain. Parameter Estimation of Nonlinear Growth Models in Forestry. „Silva Fennica”. 33 (4), s. 327–336, 1999. DOI: 10.14214/sf.653. [zarchiwizowane z adresu].

[1]

[2]

[3]

[4]