Ciąg (teoria grup)

Ciąg – jedno z kilku powiązanych pojęć teorii grup pomocne przy badaniu struktury danej grupy; zwykle przez „ciąg” rozumie się opisany dalej ciąg podnormalny. W ogólności ciągiem podgrup danej grupy nazywa się po prostu łańcuch jej podgrup; ciągi podgrup są przypadkiem szczególnym filtracji znanej z algebry abstrakcyjnej.

Definicje edytuj

Zobacz też: podgrupa normalna i grupa ilorazowa.

Niech $H\leqslant G,$ czyli $H$ będzie podgrupą w grupie $G.$ Skończony ciąg podgrup grupy $G,$ włączając w to $H$ oraz $G,$ nazywa się ciągiem (podnormalnym) od $H$ do $G$ (lub między $H$ a $G$ ), jeżeli każda grupa w ciągu jest podgrupą normalną poprzedniej, tzn.

H=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq H_{n-1}\trianglelefteq H_{n}=G\qquad (1)

Podgrupy $H_{0},H_{1},\ldots ,H_{n-1},H_{n}$ nazywa się wyrazami ciągu $(1).$ Grupy ilorazowe $H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\ldots ,H_{n}/H_{n-1}$ nazywa się ilorazami ciągu $(1).$ Ciąg od podgrupy trywialnej $E$ do podgrupy niewłaściwej $G$ nazywa się krótko ciągiem grupy $G.$ Liczbę wyrazów ciągu nazywa się jego długością.

Jeżeli każdy z wyrazów $H_{0},H_{1},\ldots ,H_{n-1},H_{n}$ ciągu $(1)$ jest normalny w $G,$ to ciąg $(1)$ również nazywa się ciągiem normalnym; zastępując normalność warunkiem charakterystyczności otrzymuje się definicję ciągu charakterystycznego.

W ciągu $(1)$ mogą istnieć powtórzenia; jeżeli jednak $H_{i-1}\triangleleft H_{i}$ dla każdego $i=1,\dots ,n,$ to ciąg $(1)$ nazywa się ciągiem właściwym. Ciąg

H=\,J_{0}\trianglelefteq \,J_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq \,J_{n-1}\trianglelefteq \,J_{n}=G\qquad (2)

od $H$ do $G$ nazywa się zagęszczeniem (lub rozdrobnieniem) ciągu $(1),$ jeżeli każdy wyraz ciągu $(1)$ jest również wyrazem ciągu $(2).$ Rozdrobnienie ciągu $(1)$ otrzymuje się więc z $(1)$ poprzez wstawienie dodatkowych grupy między pewne kolejne wyrazy tego ciągu, przy czym nie muszą być one różne od wyrazów $(1)$ ^[a]. Jeżeli jednak $(2)$ jest zagęszczeniem $(1)$ i przynajmniej jeden z wyrazów $(2)$ nie jest wyrazem $(1),$ to $(2)$ nazywa się zagęszczeniem właściwym ciągu $(1).$

Ciąg kompozycyjny edytuj

Ciąg grupy $G$ nazywa się ciągiem kompozycyjnym $G,$ jeżeli jest on ciągiem właściwym $G$ bez zagęszczenia właściwego. Ilorazy ciągu kompozycyjnego $G$ nazywa się krótko ilorazami grupy $G.$ Ciąg

E=G_{0}\trianglelefteq G_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq G_{n-1}\trianglelefteq G_{n}=G

grupy $G$ jest ciągiem kompozycyjnym $G$ wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ilorazy $G_{i}/G_{i-1}$ $(i=1,2,\dots ,n)$ są proste^[b].

Równoważność edytuj

Niech $G$ będzie grupą. Dwa ciągi

E=G_{0}\trianglelefteq \dots \trianglelefteq G_{n}=G

oraz

E=H_{0}\trianglelefteq \dots \trianglelefteq H_{m}=G

grupy $G$ nazywa się równoważnymi, jeżeli $n=m$ oraz ilorazy $G_{i}/G_{i-1}$ są, w pewnym porządku, izomorficzne do ilorazów $H_{j}/H_{j-1}$ $(i,j=1,2,\dots ,n).$

Uwaga: W powyższej definicji nie żąda się, by $G_{i}/G_{i-1}=H_{i}/H_{i-1}$ dla wszystkich $i=1,2,\dots ,n;$ warunek mówi jedynie, że $G_{i}/G_{i-1}=H_{\sigma (i)}/H_{\sigma (i)-1}$ dla pewnej permutacji $\sigma \in S_{n}.$ Wprowadza ona ponadto relację równoważności w zbiorze wszystkich ciągów $G.$

Ciągi kompozycyjne grupy są równoważne, o ile tylko grupa ma choć jeden, o czym mówi twierdzenie Jordana-Höldera; w istocie zachodzi dużo mocniejsze twierdzenie Schreiera zapewniające, że wszystkie ciągi grupy mają równoważne zagęszczenia.

Ciąg abelowy edytuj

Osobny artykuł: grupa rozwiązalna.

Ciąg

H=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq H_{m-1}\trianglelefteq H_{m}=G

od $H$ do $G$ nazywa się ciągiem abelowym, jeżeli wszystkie jego ilorazy $H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\dots ,H_{m}/H_{m-1}$ są grupami abelowymi (przemiennymi). Grupy, które mają ciąg abelowy, nazywa się rozwiązalnymi.

Ciąg centralny edytuj

Osobny artykuł: grupa nilpotentna.

Ciąg

H=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq H_{m-1}\trianglelefteq H_{m}=G

od $H$ do $G$ nazywa się ciągiem centralnym, jeżeli wszystkie jego ilorazy $H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\dots ,H_{m}/H_{m-1}$ są podgrupami centralnymi, tzn. $[G,H_{i+1}]\leqslant H_{i}$ (dla $i=1,\dots ,m;$ gdzie $[G,K]$ oznacza komutant). Grupy, które mają ciąg centralny, nazywa się nilpotentnymi.

Ponieważ $[G,H_{i}]\leqslant H_{i-1}\leqslant H_{i},$ to w szczególności $H_{i}$ jest normalna w $G;$ dlatego równoważnie warunek centralności można zastąpić wymaganiem, by ilorazy $H_{i}/H_{i-1}$ były przemienne ze wszystkimi ilorazami $G/H_{i}$ $(i=1,\dots ,m).$

Przykłady edytuj

Literą $E$ oznaczana będzie niżej podgrupa trywialna odpowiedniej grupy.

$E\triangleleft S_{3}$ jest ciągiem grupy symetrycznej $S_{3},$ a $E\triangleleft A_{3}\triangleleft S_{3}$ jest zagęszczeniem (zawierającym grupę alternującą $A_{3}$ ), które jest zarazem ciągiem kompozycyjnym $S_{3},$ ponieważ ilorazy $A_{3}/E\simeq A_{3}\,(\simeq C_{3})$ oraz $S_{3}/A_{3}\simeq C_{2}$ są proste (w pierwszym przypadku: grupa przemienna jest prosta wtedy i tylko wtedy, gdy jest cykliczna i rzędu będącego liczbą pierwszą; w drugim: z powyższej charakteryzacji). Jest to w istocie jedyny ciąg kompozycyjny tej grupy.
$E\triangleleft V_{4}\triangleleft A_{4}\triangleleft S_{4}$ jest ciągiem normalnym grupy $S_{4}.$ Nie jest on jednak ciągiem kompozycyjnym $S_{4},$ ponieważ można go zagęścić wstawiając jedną z podgrup $U_{1}=\{\iota ,(12)(34)\}$ lub $U_{2}=\{\iota ,(13)(24)\}$ bądź $U_{1}=\{\iota ,(14)(23)\}$ między $E=\{\iota \}$ a $V_{4}=\{\iota ,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ (zob. grupa czwórkowa Kleina). Każdy z trzech ciągów $E\triangleleft U_{i}\triangleleft V_{4}\triangleleft A_{4}\triangleleft S_{4}$ jest ciągiem kompozycyjnym $S_{4}$ $(i=1,2,3),$ przy czym są to wszystkie ciągi kompozycyjne tej grupy.
Nie każda grupa ma ciąg kompozycyjny, przykładem jest $\mathbb {Z} .$ Istotnie, dowolny ciąg ma postać

0\mathbb {Z} \triangleleft m_{1}\mathbb {Z} \triangleleft m_{2}\mathbb {Z} \triangleleft \ldots \triangleleft m_{n}\mathbb {Z} \triangleleft \mathbb {Z} \qquad (3)

gdzie

m_{2}|m_{1},m_{3}|m_{2},\dots ,m_{n}|m_{n-1}.

Jeśli

m_{0}

jest wielokrotnością

m_{1}

oraz

m_{0}\neq m_{1},

to

0\mathbb {Z} \triangleleft m_{0}\mathbb {Z} \triangleleft m_{1}\mathbb {Z} \triangleleft m_{2}\mathbb {Z} \triangleleft \ldots \triangleleft m_{n}\mathbb {Z} \triangleleft \mathbb {Z}

jest właściwym zagęszczeniem

(3)

(symbol

0\mathbb {Z} =\left\{{\bar {0}}\right\}

oznacza tu podgrupę trywialną). Wówczas dowolny ciąg

\mathbb {Z}

ma zagęszczenie właściwe. Dlatego żaden ciąg

\mathbb {Z}

nie może być ciągiem kompozycyjnym tej grupy.

Diagram podzielności liczby 12.

Niech $\langle a\rangle$ będzie grupą cykliczną rzędu 12. Wtedy

\langle a^{12}\rangle \triangleleft \langle a^{6}\rangle \triangleleft \langle a^{2}\rangle \triangleleft \langle a^{1}\rangle ,\quad \langle a^{12}\rangle \triangleleft \langle a^{6}\rangle \triangleleft \langle a^{3}\rangle \triangleleft \langle a^{1}\rangle ,\quad \langle a^{12}\rangle \triangleleft \langle a^{4}\rangle \triangleleft \langle a^{2}\rangle \triangleleft \langle a^{1}\rangle

są ciągami kompozycyjnymi

\langle a^{1}\rangle =\langle a\rangle

(przy czym

\langle a^{12}\rangle =\{a^{0}\}

jest podgrupą trywialną). Ilorazy kompozycyjne są izomorficzne odpowiednio z

C_{2},C_{3},C_{2};\ C_{2},C_{2},C_{3};\ C_{3},C_{2},C_{2}.

Zatem nie biorąc pod uwagę kolejności, ilorazy kompozycyjne powstające z różnych ciągów kompozycyjnych są grupami izomorficznymi – ciągi te są zatem równoważne.

Zobacz też edytuj

Uwagi edytuj

↑ Przykładowo $A\trianglelefteq B\trianglelefteq B\trianglelefteq C$ jest zagęszczeniem $A\trianglelefteq B\trianglelefteq C.$
↑ Niech dany ciąg będzie ciągiem kompozycyjnym $G.$ Z definicji jest to ciąg właściwy. Dlatego $G_{i-1}\triangleleft G_{i}$ i wszystkie ilorazy $G_{i}/G_{i-1}$ są różne od grupy trywialnej $(i=1,2,\dots ,n).$ Jeśli jeden z ilorazów, np. $G_{j}/G_{j-1},$ nie byłby prosty, to $G_{j}/G_{j-1},$ miałoby nietrywialną właściwą podgrupę normalną, którą można zapisać jako $H/G_{j-1},$ gdzie $G_{j-1}<H<G_{j}$ (na podstawie charakteryzacji podgrup grupy ilorazowej). Dlatego $G_{j-1}\triangleleft H\triangleleft G_{j}$ (w istocie $G_{j-1}\triangleleft G_{j}$ ) i dany ciąg ma właściwe zagęszczenie uzyskane poprzez wstawienie $H$ między $G_{j-1}$ a $G_{j}$ wbrew założeniu, że ciąg jest kompozycyjny. Zatem wszystkie $G_{i}/G_{i-1}$ są proste $(i=1,2,\dots ,n).$
Odwrotnie: niech wszystkie ilorazy $G_{i}/G_{i-1}$ będą proste $(i=1,2,\dots ,n).$ Wtedy $G_{i}/G_{i-1}$ są nietrywialne i $G_{i-1}\triangleleft G_{i}$ dla wszystkich $i=1,2,\dots ,n.$ Zatem dany ciąg jest właściwy. Jeśli nie byłby to ciąg kompozycyjny, to miałby on zagęszczenie właściwe. Dla ustalenia uwagi można założyć, że takie zagęszczenie ma wyraz $H$ między $G_{j}$ a $G_{j-1},$ czyli $G_{j-1}\triangleleft H\triangleleft G_{j}.$ Zgodnie z charakteryzacją podgrup grupy ilorazowej $H/G_{j-1}$ byłoby nietrywialną właściwą podgrupą normalną w $G_{j}/G_{j-1},$ wbrew założeniu, że wszystkie ilorazy, w tym $G_{j}/G_{j-1},$ są proste. Zatem dany ciąg musi być kompozycyjny.

Bibliografia edytuj

Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.

[1] Przykładowo $A\trianglelefteq B\trianglelefteq B\trianglelefteq C$ jest zagęszczeniem $A\trianglelefteq B\trianglelefteq C.$

[2] Niech dany ciąg będzie ciągiem kompozycyjnym $G.$ Z definicji jest to ciąg właściwy. Dlatego $G_{i-1}\triangleleft G_{i}$ i wszystkie ilorazy $G_{i}/G_{i-1}$ są różne od grupy trywialnej $(i=1,2,\dots ,n).$ Jeśli jeden z ilorazów, np. $G_{j}/G_{j-1},$ nie byłby prosty, to $G_{j}/G_{j-1},$ miałoby nietrywialną właściwą podgrupę normalną, którą można zapisać jako $H/G_{j-1},$ gdzie $G_{j-1}<H<G_{j}$ (na podstawie charakteryzacji podgrup grupy ilorazowej). Dlatego $G_{j-1}\triangleleft H\triangleleft G_{j}$ (w istocie $G_{j-1}\triangleleft G_{j}$ ) i dany ciąg ma właściwe zagęszczenie uzyskane poprzez wstawienie $H$ między $G_{j-1}$ a $G_{j}$ wbrew założeniu, że ciąg jest kompozycyjny. Zatem wszystkie $G_{i}/G_{i-1}$ są proste $(i=1,2,\dots ,n).$
Odwrotnie: niech wszystkie ilorazy $G_{i}/G_{i-1}$ będą proste $(i=1,2,\dots ,n).$ Wtedy $G_{i}/G_{i-1}$ są nietrywialne i $G_{i-1}\triangleleft G_{i}$ dla wszystkich $i=1,2,\dots ,n.$ Zatem dany ciąg jest właściwy. Jeśli nie byłby to ciąg kompozycyjny, to miałby on zagęszczenie właściwe. Dla ustalenia uwagi można założyć, że takie zagęszczenie ma wyraz $H$ między $G_{j}$ a $G_{j-1},$ czyli $G_{j-1}\triangleleft H\triangleleft G_{j}.$ Zgodnie z charakteryzacją podgrup grupy ilorazowej $H/G_{j-1}$ byłoby nietrywialną właściwą podgrupą normalną w $G_{j}/G_{j-1},$ wbrew założeniu, że wszystkie ilorazy, w tym $G_{j}/G_{j-1},$ są proste. Zatem dany ciąg musi być kompozycyjny.

[a]

[b]