Ciąg zbiorów

Ciąg zbiorów – ciąg, którego elementami są zbiory; dokładniej: podzbiory pewnej przestrzeni. Podobnie jak dla ciągów liczbowych możliwe jest określenie granic dolnej i górnej, a przez to zbieżności.

Jeżeli każdy kolejny element ciągu zawiera się w poprzednim, ciąg nazywa się zstępującym lub nierosnącym; jeżeli każdy kolejny element ciągu zawiera poprzedni, ciąg nazywa się wstępującym bądź niemalejącym; ciąg, który jest zstępujący lub wstępujący (nierosnący lub niemalejący) nazywa się monotonicznym (por. warunki nakładane na łańcuchy, tutaj: podzbiorów).

Zbieżność edytuj

Zobacz też: suma zbiorów i część wspólna zbiorów.

Niech dany będzie ciąg podzbiorów $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ustalonego zbioru $X$ nazywanego dalej przestrzenią. Zbiory dane wzorami

\liminf _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\bigcup _{m\in \mathbb {N} }\;\bigcap _{n>m}\;A_{n}\quad {\text{ oraz }}\quad \limsup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\bigcap _{m\in \mathbb {N} }\;\bigcup _{n>m}\;A_{n}

nazywa się odpowiednio granicą dolną i granicą górną ciągu $(A_{n})_{n};$ jeżeli

\liminf _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\limsup _{n\in \mathbb {N} }A_{n},

to ciąg $(A_{n})_{n}$ nazywa się zbieżnym, a zbiór wyznaczony przez tę równość nazywa się granicą tego ciągu i zapisuje $\lim _{n\in \mathbb {N} }A_{n}.$

Własności edytuj

Zamiast napisu $n\in \mathbb {N}$ (liczby naturalne bez zera) pod symbolami granic stosuje się również $n\to \infty ;$ niżej, dla przejrzystości, oznaczenia $n\in \mathbb {N}$ będą pomijane, o ile nie doprowadzi to do nieporozumień.

Dla dowolnego ciągu $(A_{n})$ następujące warunki są równoważne:

ciąg $A_{n}$ jest zbieżny do $A,$
$\lim A_{n}=A;$
ciąg różnic symetrycznych $A_{n}$ oraz $A$ jest zbieżny do zbioru pustego $\varnothing ,$
$\lim \left(A_{n}\triangle A\right)=\varnothing ;$
ciąg funkcji charakterystycznych zbiorów $A_{n}$ jest zbieżny punktowo na całej przestrzeni $X$ do funkcji charakterystycznej zbioru $A,$
$\lim \chi _{A_{n}}(x)=\chi _{A}(x)\quad \mathrm {\ dla\ ka{\dot {z}}dego\ } x\in X.$

Dodatkowo dla $I$ przebiegającego wszystkie nieskończone podzbiory liczb naturalnych zachodzi

\limsup A_{n}=\bigcap _{I}\;\bigcup _{i\in I}\;A_{i},

z kolei dla $I$ przebiegającego wszystkie podzbiory liczb naturalnych o dopełnieniu skończonym jest

\liminf A_{n}=\bigcup _{I}\;\bigcap _{i\in I}\;A_{i},

a ponadto

\liminf A_{n}\subseteq \limsup A_{n},

a więc sprawdzając zbieżność, wygodnie jest niekiedy ograniczyć się do badania $\liminf A_{n}.$

Element $x\in \limsup A_{n}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x\in A_{n}$ dla nieskończenie wielu wartości $n$ ^[a]; z kolei $x\in \liminf A_{n}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x\in A_{n}$ dla wszystkich poza skończenie wieloma wartościami $n$ ^[b]; innymi słowy

\liminf A_{n}=\left\{\sum \chi _{A_{n}^{\mathrm {c} }}<\infty \right\}\quad {\text{ oraz }}\quad \limsup A_{n}=\left\{\sum \chi _{A_{n}}=\infty \right\},

a ponadto $(\liminf A_{n})^{\mathrm {c} }=\limsup A_{n}^{\mathrm {c} }$ oraz $(\limsup A_{n})^{\mathrm {c} }=\liminf A_{n}^{\mathrm {c} }$ ^[c], gdzie $A^{\mathrm {c} }$ oznacza dopełnienie zbioru $A.$

Ciąg $(A_{n})$ nazywa się nierosnącym lub zstępującym, jeżeli $A_{n+1}\subseteq A_{n}$ oraz niemalejącym bądź wstępującym, jeżeli $A_{n}\subseteq A_{n+1}$ dla każdego $n\in \mathbb {N} .$ O takich ciągach mówi się zbiorczo: monotoniczne i jako takie są one zbieżne, przy czym jeśli $(A_{n})$ jest nierosnący (zstępujący), to^[d]

\lim A_{n}=\bigcap A_{n},

a jeżeli $(A_{n})$ jest niemalejący (wstępujący), to^[d]

\lim A_{n}=\bigcup A_{n}.

Zastosowania edytuj

Niżej $X$ oznacza pewną przestrzeń probabilistyczną (bądź ogólniej: przestrzeń mierzalną z ustaloną miarą), a zbiory $A_{n}$ będą zdarzeniami losowymi (albo po prostu zbiorami mierzalnymi).

Granice $\limsup A_{n}$ oraz $\liminf A_{n}$ można uważać za „te zdarzenia $A_{n},$ które zachodzą nieskończenie często” oraz „te zdarzenia $A_{n},$ które w końcu będą zawsze zachodzić”; zawieranie $\liminf A_{n}\subseteq \limsup A_{n}$ oznacza więc, że „zdarzenia $A_{n},$ które ostatecznie zawsze zajdą, zachodzą nieskończenie często”, skąd granicę $\lim A_{n}$ można rozumieć jako żądanie, by „te ze zdarzeń $A_{n},$ które zachodzą nieskończenie często, ostatecznie zawsze zachodziły”.

Twierdzenie o ciągłości

Jeżeli ciąg

A_{n}

jest monotoniczny, to prawdopodobieństwo tych ze zdarzeń z

A_{n},

które ostatecznie zajdą jest równe granicy prawdopodobieństw

A_{n}

^[e], tzn.

\mathbb {P} (\lim A_{n})=\lim \mathbb {P} (A_{n}).

Lematy Borela-Cantellego

Zobacz też: lematy Borela-Cantellego.

Jeżeli

\textstyle \sum \mathbb {P} (A_{n})<\infty ,

to

\mathbb {P} \left(\limsup A_{n}\right)=0.

Z drugiej strony, jeżeli

\textstyle \sum \mathbb {P} (A_{n})=\infty

dla zdarzeń niezależnych(!)^[f], to

\mathbb {P} (\limsup A_{n})=1.

Korzystając z podanych intuicji lematy Borela-Cantellego, można rozumieć w następujący sposób: „jeżeli suma prawdopodobieństw zdarzeń

A_{n}

jest skończona, to prawie na pewno nie przytrafią się zdarzenia, które zachodzą nieskończenie często, tzn. prawie na pewno zajdzie skończenie wiele spośród zdarzeń

A_{n}

” oraz „jeżeli suma prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń

A_{n}

jest nieskończona, to prawie na pewno mają miejsce zdarzenia zachodzące nieskończenie często” (gdzie przez „sumę” rozumie się „sumę nieskończoną”, czyli szereg); przypadkiem szczególnym drugiego z lematów jest twierdzenie o nieskończonej liczbie małp.

Klasa monotoniczna i λ-układ

Zobacz też: klasa monotoniczna i λ-układ.

Klasa monotoniczna to rodzina zdarzeń

A_{n},

która zawiera wszystkie granice ciągów monotonicznych tej rodziny. Każde σ-ciało zdarzeń jest klasą monotoniczną, zaś każde ciało zdarzeń będące klasą monotoniczną jest ich σ-ciałem. λ-układ to z kolei rodzina zdarzeń

A_{n},

do której należy

X,

jeżeli zdarzenie

A

pociąga

B,

to rodzina zawiera różnicę zdarzeń

A

oraz

B

(zdarzenie przeciwne do

B

względem

A

) oraz zawiera granice wstępujących ciągów zdarzeń należących do tej rodziny. Każdy λ-układ będący zarazem π-układem (rodziną zawierającą skończone koniunkcje należących do niej zdarzeń) jest σ-ciałem, o czym mówi lemat o π- i λ-układach.

Twierdzenia Carathéodory’ego i Hahna-Kołmogorowa

Zobacz też: twierdzenie Carathéodory’ego i twierdzenie Hahna-Kołmogorowa.

Niech

P

będzie nieujemną i skończenie addytywną funkcją na pewnym ciele

{\mathfrak {M}}

określonym na przestrzeni

X

(oraz

P(X)=1

). Jeśli zachodzi warunek

gdy

A_{n}

jest ciągiem wstępującym elementów

{\mathfrak {M}},

przy czym

\lim A_{n}=A\in {\mathfrak {M}}

(np. gdy

{\mathfrak {M}}

jest również klasą monotoniczną), wtedy

\lim P(A_{n})=P(\lim A_{n})=P(A),

to

P

przedłuża się w jednoznaczny sposób do prawdopodobieństwa

\mathbb {P}

na σ-ciele generowanym przez

{\mathfrak {M}}.

Równoważnie można żądać, by

A_{n}

był ciągiem zstępującym na

{\mathfrak {M}}

oraz

\lim A_{n}=\varnothing \in {\mathfrak {M}},

kiedy to

\lim P(A_{n})=P(\lim A_{n})=P(\varnothing )=0

^[g] z tymi samymi założeniami i tezą dotyczącymi

P.

W topologii ciągi zbiorów zstępujących służą charakteryzacji metryzowalnych przestrzeni zwartych i metrycznych przestrzeni zupełnych (zob. twierdzenie Cantora o zupełności).

Uwagi edytuj

↑ Otóż z definicji $x\in \limsup A_{n}$ jest równoważne temu, by dla każdego $m$ zachodziło $\textstyle x\in \bigcup _{n=m}^{\infty }A_{n},$ co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $m$ istnieje $n(x)\geqslant m,$ dla których $x\in A_{n},$ to zaś pociąga i jest pociągane przez istnienie takiego podciągu $n_{k}$ monotonicznie rozbieżnego do $\infty ,$ że $x\in A_{n_{k}},$ co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $x$ należy do nieskończenie wielu $A_{n}.$
↑ Z definicji wynika, że $x\in \liminf A_{n}$ jest równoważne istnieniu $m(x)$ spełniającego $\textstyle \bigcap _{n=m}^{\infty }A_{n},$ co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $x\in A_{n}$ dla $n\geqslant m.$
↑ Z praw de Morgana wynika $\textstyle \limsup A_{n}^{\mathrm {c} }=\bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=m}^{\infty }A_{n}^{\mathrm {c} }=\bigcap _{m=1}^{\infty }\left(X\smallsetminus \bigcap _{n=m}^{\infty }A_{n}\right)=X\smallsetminus \bigcup _{m=1}^{\infty }\bigcap _{n=m}^{\infty }A_{n}=X\smallsetminus \liminf A_{n};$ drugi przypadek jest analogiczny.
↑ ^a ^b Jeśli $(A_{n})$ jest nierosnący, to $\textstyle \bigcap _{m\geqslant n}A_{m}=\bigcap _{m\geqslant 1}A_{m}$ oraz $\textstyle \bigcup _{m\geqslant n}A_{j}=A_{n}.$ Wynika stąd, że
$\textstyle \liminf A_{n}=\bigcup _{n\geqslant 1}\bigcap _{m\geqslant n}A_{m}=\bigcap _{m\geqslant 1}A_{m}=\bigcap _{n\geqslant 1}\bigcup _{m\geqslant n}A_{m}=\limsup A_{n}.$
Podobnie w przypadku, gdy $(A_{n})$ jest niemalejący.
↑ Dla ciągu wstępującego $\textstyle \lim A_{n}=\bigcup A_{n};$ zdarzenia $B_{1}=A_{1}$ oraz $B_{n}=A_{n}\smallsetminus A_{n-1}$ dla $n>1$ wykluczają się, a przy tym $\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}B_{i}=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{n}$ oraz $\textstyle \bigcup B_{i}=\bigcup A_{i}=\lim A_{i}$ (tzn. rodzina indeksowana $B_{i}$ jest podziałem $\lim A_{i}$ ); z przeliczalnej addytywności miary wynika $\textstyle \mathbb {P} (\lim A_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup B_{i}\right)=\sum \mathbb {P} (B_{i})=\lim \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (B_{i})=\lim \mathbb {P} (A_{n}).$ Przypadek ciągu zstępującego (dla którego $\textstyle \lim A_{n}=\bigcap A_{n}$ ) wynika z pierwszego na mocy wzorów de Morgana dla ciągu wstępującego $(C_{n})$ danego wzorem $C_{n}=A_{n}^{\mathrm {c} },$ gdyż $\textstyle \bigcup C_{n}=\bigcup A_{n}^{\mathrm {c} }=\left(\bigcap A_{n}\right)^{\mathrm {c} }=(\lim A_{n})^{\mathrm {c} }.$
↑ Założenie dotyczące niezależności można osłabić do niezależności parami kosztem większej złożoności dowodu.
↑ Jeśli $A_{n}$ jest ciągiem zstępującym o pustym przecięciu, to $A_{n}^{\mathrm {c} }$ jest rodziną wstępującą i ze wzorów de Morgana wynika, że $\lim A_{n}^{\mathrm {c} }=X,$ skąd $1=P(X)=P(\lim A_{n}^{\mathrm {c} })=\lim P(A_{n}^{\mathrm {c} })=1-\lim P(A_{n}),$ czyli $\lim P(A_{n})=0.$ Na odwrót, jeżeli $A_{n}$ jest ciągiem wstępującym, to $B_{n}=A\smallsetminus A_{n}$ tworzą ciąg zstępujący o pustym przecięciu, zatem $0=P(\varnothing )=P(\lim B_{n})=\lim P(B_{n})=\lim P(A\smallsetminus A_{n})=P(A)-\lim P(A_{n}),$ czyli $\lim P(A_{n})=P(A).$

[1] Otóż z definicji $x\in \limsup A_{n}$ jest równoważne temu, by dla każdego $m$ zachodziło $\textstyle x\in \bigcup _{n=m}^{\infty }A_{n},$ co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $m$ istnieje $n(x)\geqslant m,$ dla których $x\in A_{n},$ to zaś pociąga i jest pociągane przez istnienie takiego podciągu $n_{k}$ monotonicznie rozbieżnego do $\infty ,$ że $x\in A_{n_{k}},$ co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $x$ należy do nieskończenie wielu $A_{n}.$

[2] Z definicji wynika, że $x\in \liminf A_{n}$ jest równoważne istnieniu $m(x)$ spełniającego $\textstyle \bigcap _{n=m}^{\infty }A_{n},$ co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $x\in A_{n}$ dla $n\geqslant m.$

[3] Z praw de Morgana wynika $\textstyle \limsup A_{n}^{\mathrm {c} }=\bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=m}^{\infty }A_{n}^{\mathrm {c} }=\bigcap _{m=1}^{\infty }\left(X\smallsetminus \bigcap _{n=m}^{\infty }A_{n}\right)=X\smallsetminus \bigcup _{m=1}^{\infty }\bigcap _{n=m}^{\infty }A_{n}=X\smallsetminus \liminf A_{n};$ drugi przypadek jest analogiczny.

[monotone-4] Jeśli $(A_{n})$ jest nierosnący, to $\textstyle \bigcap _{m\geqslant n}A_{m}=\bigcap _{m\geqslant 1}A_{m}$ oraz $\textstyle \bigcup _{m\geqslant n}A_{j}=A_{n}.$ Wynika stąd, że
$\textstyle \liminf A_{n}=\bigcup _{n\geqslant 1}\bigcap _{m\geqslant n}A_{m}=\bigcap _{m\geqslant 1}A_{m}=\bigcap _{n\geqslant 1}\bigcup _{m\geqslant n}A_{m}=\limsup A_{n}.$
Podobnie w przypadku, gdy $(A_{n})$ jest niemalejący.

[5] Dla ciągu wstępującego $\textstyle \lim A_{n}=\bigcup A_{n};$ zdarzenia $B_{1}=A_{1}$ oraz $B_{n}=A_{n}\smallsetminus A_{n-1}$ dla $n>1$ wykluczają się, a przy tym $\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}B_{i}=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{n}$ oraz $\textstyle \bigcup B_{i}=\bigcup A_{i}=\lim A_{i}$ (tzn. rodzina indeksowana $B_{i}$ jest podziałem $\lim A_{i}$ ); z przeliczalnej addytywności miary wynika $\textstyle \mathbb {P} (\lim A_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup B_{i}\right)=\sum \mathbb {P} (B_{i})=\lim \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (B_{i})=\lim \mathbb {P} (A_{n}).$ Przypadek ciągu zstępującego (dla którego $\textstyle \lim A_{n}=\bigcap A_{n}$ ) wynika z pierwszego na mocy wzorów de Morgana dla ciągu wstępującego $(C_{n})$ danego wzorem $C_{n}=A_{n}^{\mathrm {c} },$ gdyż $\textstyle \bigcup C_{n}=\bigcup A_{n}^{\mathrm {c} }=\left(\bigcap A_{n}\right)^{\mathrm {c} }=(\lim A_{n})^{\mathrm {c} }.$

[6] Założenie dotyczące niezależności można osłabić do niezależności parami kosztem większej złożoności dowodu.

[7] Jeśli $A_{n}$ jest ciągiem zstępującym o pustym przecięciu, to $A_{n}^{\mathrm {c} }$ jest rodziną wstępującą i ze wzorów de Morgana wynika, że $\lim A_{n}^{\mathrm {c} }=X,$ skąd $1=P(X)=P(\lim A_{n}^{\mathrm {c} })=\lim P(A_{n}^{\mathrm {c} })=1-\lim P(A_{n}),$ czyli $\lim P(A_{n})=0.$ Na odwrót, jeżeli $A_{n}$ jest ciągiem wstępującym, to $B_{n}=A\smallsetminus A_{n}$ tworzą ciąg zstępujący o pustym przecięciu, zatem $0=P(\varnothing )=P(\lim B_{n})=\lim P(B_{n})=\lim P(A\smallsetminus A_{n})=P(A)-\lim P(A_{n}),$ czyli $\lim P(A_{n})=P(A).$

[a]

[b]

[c]

[d]

[e]

[f]

[g]