Kryterium Weierstrassa

Kryterium Weierstrassa – twierdzenie będące warunkiem wystarczającym zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka, Karla Weierstrassa. Kryterium to mówi, że jeżeli $(f_{n})$ jest ciągiem funkcji określonych na dowolnym zbiorze $A$ o tej własności, że dla każdej liczby naturalnej $n$ istnieje taka liczba $M_{n},$ że

$|f_{n}(x)|\leqslant M_{n}$

dla każdego elementu $x$ zbioru $A,$ oraz szereg liczbowy

$\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$

jest zbieżny, to szereg funkcyjny

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$

jest zbieżny jednostajnie w $A.$ Ciąg $(M_{n})$ nazywany jest majorantą ciągu funkcyjnego $(f_{n}).$ Kryterium pozostaje prawdziwe dla ciągów funkcyjnych o wartościach w przestrzeniach Banacha.

Dowód

Niech $\varepsilon >0.$ Skoro szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$

jest zbieżny, to istnieje taka liczba $N\in \mathbb {N} ,$ że dla każdego $k>N$ mamy

$\sum _{n=N}^{k}M_{n}<\varepsilon .$

Zatem dla dowolnej liczby $x\in A$ mamy

$\sum _{n=N}^{k}|f_{n}(x)|<\varepsilon .$

Oznacza to, że szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}(x)|$

spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego, a w konsekwencji jest on zbieżny jednostajnie. Zatem szereg funkcyjny

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$

jest jednostajnie i bezwzględnie zbieżny.

Zobacz też

• kryterium Abela
• kryterium Dirichleta
• zbieżność punktowa
• zbieżność monotoniczna

Bibliografia

• Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. czwarte. T. II. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 369.
• Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000, s. 184–185. ISBN 830232-1049-7.
• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1998, s. 126. ISBN 83-01-02846-7.