Kryterium porównawcze

Kryterium porównawcze – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych. Mówi ono, że szereg liczbowy o wyrazach nieujemnych majoryzowany przez zbieżny szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny. Przez zasadę kontrapozycji, twierdzenie to jest równoważne temu, że szereg o wyrazach nieujemnych majoryzujący rozbieżny szereg o wyrazach nieujemnych jest rozbieżny.

Kryterium

Niech

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

(A)

oraz

$\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$

(B)

będą szeregami o wyrazach nieujemnych. Załóżmy, że istnieje takie $k,$ że dla wszelkich $n\geqslant k$ zachodzi nierówność

$a_{n}\leqslant b_{n}.$

Wówczas

1. jeżeli szereg (B) jest zbieżny, to szereg (A) jest również zbieżny;
2. jeżeli szereg (A) jest rozbieżny, to szereg (B) jest również rozbieżny.

Dowód

Suma (tj. granica ciągu sum częściowych) szeregu o wyrazach nieujemnych zawsze istnieje – jest albo nieujemną liczbą rzeczywistą bądź wynosi $\infty .$ Oznacza to, że stwierdzenia 1. i 2. są równoważne na mocy zasady kontrapozycji. Wystarczy zatem przeprowadzić dowód dla 1.

Załóżmy, że szereg (B) jest zbieżny oraz niech $B$ będzie (skończoną) sumą (B). Skoro istnieje takie $k,$ że dla wszelkich $n\geqslant k$ zachodzi nierówność

$a_{n}\leqslant b_{n},$

można założyć, że powyższa nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb naturalnych $n$ ponieważ skończenie wiele wyrazów szeregu liczbowego nie wpływa na jego zbieżność. W tym przypadku, dla każdej liczby naturalnej spełniona jest także nierówność

$0\leqslant \sum _{n=1}^{k}a_{j}\leqslant \sum _{n=1}^{k}b_{j}\leqslant B.$

Oznacza to, że ciąg

$S_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}$

jest ograniczony (przez $B$). Ciąg ten jest także niemalejący, istotnie

$S_{k+1}-S_{k}=\sum _{n=1}^{k+1}a_{n}-\sum _{n=1}^{k}a_{n}=a_{k+1}\geqslant 0,$

tj. dla wszystkich $k$ zachodzi

$S_{k+1}\geqslant S_{k}.$

Każdy ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny, a więc szereg (A) jest zbieżny, gdyż zbieżny jest jego ciąg sum częściowych.

Wersja graniczna

Pod założeniem, $a_{n}\geqslant 0,\;b_{n}>0\quad (n\in \mathbb {N} ),$ jeżeli istnieje granica

$K=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}},\qquad {}$ gdzie ${}\qquad 0\leqslant K\leqslant \infty ,$

to

• gdy $K<\infty ,$ to ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A);
• gdy $K>0,$ to z rozbieżności szeregu (B) wynika rozbieżność szeregu (A).

W równoważnym sformułowaniu:

• gdy $0<K<\infty ,$ oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne;
• gdy $K=0,$ to ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A);
• gdy $K=\infty ,$ to z rozbieżności szeregu (B) wynika rozbieżność szeregu (A).

Wersja ułamkowa

Pod założeniem, $a_{n}>0,\;b_{n}>0\quad (n\in \mathbb {N} ),$ jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leqslant {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}},$

ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A) (a więc z rozbieżności szeregu (A) wynika rozbieżność szeregu (B)).

Przykład zastosowania

Niech $b_{n}=1/2^{n},$ tj. w tym przypadku szereg (B) jest zbieżnym szeregiem geometrycznym. Niech

$a_{n}={\frac {(n!)^{2}}{(2n)!}}.$

Szereg (A) jest zbieżny, gdyż

${\frac {(n!)^{2}}{(2n)!}}={\frac {n!}{2^{n}(2n-1)!!}}<{\frac {1}{2^{n}}}=b_{n},$

tj. szereg (A) jest majoryzowany przez zbieżny szereg geometryczny (B).

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.
• Praca zbiorowa: Encyklopedia szkolna. Matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990. ISBN 83-02-02551-8.