Lemat Fatou

Lemat Fatou – lemat noszący nazwisko Pierre’a Fatou, który daje ograniczenie górne na wartość całki Lebesgue’a funkcji określonej jako granica dolna pewnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych.

Lemat Fatou jest jednym z trzech, obok twierdzeń o zbieżności monotonicznej i ograniczonej (oba autorstwa Henriego Lebesgue’a), podstawowych twierdzeń granicznych analizy i teorii miary. Wykorzystywany jest w niektórych dowodach twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej oraz zupełności przestrzeni $L^{p}$ oraz w teorii prawdopodobieństwa przy wyznaczaniu wartości oczekiwanych pewnych zmiennych losowych.

Lemat

Niech $f_{k}\colon X\to [0,+\infty ]$ będą funkcjami $\mu$-mierzalnymi określonymi na wspólnej przestrzeni z miarą $(X,\mu )$ dla $k=1,\dots .$ Wówczas

$\int \liminf _{k\to \infty }f_{k}\operatorname {d} \!\mu \leqslant \liminf _{k\to \infty }\int f_{k}\operatorname {d} \!\mu .$

Uwaga

Jeśli funkcje $f_{k}$ są sumowalne (całkowalne) i prawa strona nierówności jest skończona, to sumowalna (całkowalna) jest również funkcja podcałkowa po lewej stronie nierówności.

Dowód

Pierre Fatou (1878-1929)

Niech $g:=\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\chi _{A_{j}}$ oznacza nieujemną funkcję prostą mniejszą lub równą $\liminf _{k\to \infty }f_{k}.$ Niech ponadto zbiory $\mu$-mierzalne $\{A_{j}\}_{j=1}^{\infty }$ będą rozłączne oraz $a_{j}>0$ dla $j=1,\dots .$

Niech $0<t<1$ będzie ustalone. Wówczas

$A_{j}=\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{j,k},$

gdzie:

$B_{j,k}:=A_{j}\cap \left\{x\in X\colon f_{l}(x)>ta_{j}\ \ {\text{dla wszystkich}}\ \ l\geqslant k\right\}.$

Ponieważ

$A_{j}\supseteq B_{j,k+1}\supseteq B_{j,k}\qquad (k=1,\dots ),$

zatem

$\int f_{k}\operatorname {d} \!\mu \geqslant \sum _{j=1}^{\infty }\int _{A_{j}}f_{k}\operatorname {d} \!\mu \geqslant \sum _{j=1}^{\infty }\int _{B_{j,k}}f_{k}\operatorname {d} \!\mu \geqslant t\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\mu \left(B_{j,k}\right);$

stąd zaś

$\liminf _{k\to \infty }\int f_{k}\operatorname {d} \!\mu \geqslant t\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\mu (A_{j})=t\int g\operatorname {d} \!\mu .$

Nierówność ta obowiązuje dla każdego $0<t<1,$ a każda funkcja prosta $g$ jest mniejsza lub równa $\liminf _{k\to \infty }f_{k}.$ Dlatego

$\liminf _{k\to \infty }\int f_{k}\operatorname {d} \!\mu \geqslant \int _{*}\liminf _{k\to \infty }f_{k}\operatorname {d} \!\mu =\int \liminf _{k\to \infty }f_{k}\operatorname {d} \!\mu ,$

gdzie $\int _{*}$ oznacza całkę dolną.

Zobacz też

• twierdzenie Lebesgue’a-Fatou
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej
• twierdzenie Fubiniego