Moduł ilorazowy

Moduł ilorazowy – struktura tworzona dla dowolnego modułu i jego podmodułu. Konstrukcja opisana niżej jest analogiczna do otrzymywania pierścienia liczb całkowitych modulo n (zobacz: arytmetyka modularna). W ten sam sposób powstają też grupa ilorazowa i pierścień ilorazowy.

Definicja

Niech dany będzie (lewostronny) moduł $M$ nad pierścieniem $R$ oraz podmoduł $N$ tego modułu. Przestrzeń ilorazowa $M/N$ zdefiniowana jest za pomocą następującej relacji równoważności:

$m\sim n$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m-n\in N$

dla dowolnych $m,n\in M.$ Elementami $M/N$ są klasy abstrakcji postaci

$[m]=\{m+n\colon n\in N\}.$

Działanie dodawania w $M/N$ określone jest dla dwóch klas równoważności jako klasa równoważności sumy dwóch reprezentantów tych klas; podobnie definiuje się iloczyn przez elementy z $R.$ Tym sposobem przestrzeń ilorazowa $M/N$ sama staje się modułem nad $R$ nazywanym modułem ilorazowym. Symbolicznie:

$[m]+[n]=[m+n]$ i

$r[m]=[rm]$

dla dowolnych $m,n\in M$ oraz $r\in R.$

Dla modułu $M$ i podmodułu $N\subseteq M$

Moduł ilorazowy to przestrzeń klas abstrakcji $M/N$ z działaniami określonymi powyżej.

Przykłady

Niech dany będzie pierścień $\mathbb {R}$ liczb rzeczywistych i $\mathbb {R}$-moduł $A=\mathbb {R} [X],$ czyli pierścień wielomianów o rzeczywistych współczynnikach. Rozważmy podmoduł

$B=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]$

modułu $A,$ to jest podmoduł wszystkich wielomianów podzielnych przez $X^{2}+1.$ Okazuje się, że relacją równoważności określoną przez ten moduł jest

$P(X)\sim Q(X)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $P(X)$ oraz $Q(X)$ dają tę samą resztę z dzielenia przez $X^{2}+1.$

Dlatego w module ilorazowym $A/B$ wielomian $X^{2}+1$ będzie tym samym co $0$ i stąd może być on postrzegany jako otrzymany z $\mathbb {R} [X]$ przez utożsamienie $X^{2}+1=0.$ Moduł ilorazowy $A/B$ jest izomorficzny z liczbami zespolonymi postrzeganymi jako moduł nad liczbami rzeczywistymi $\mathbb {R} .$

Własności

• Moduł ilorazowy $M/N$ jest obrazem homomorficznym modułu $M$ przez homomorfizm o jądrze $N$ dany wzorem

$\pi :M\longrightarrow M/N:m\mapsto m+N.$

Odwzorowanie $\pi$ jest nazywane projekcją modułu $M$ na moduł ilorazowy $M/N$.

• Twierdzenie o izomorfizmie: dla dwóch podmodułów $M,N$ modułu $Q$ prawdziwe jest

  $M/(M\cap N)\simeq (M+S)/N.$

dla podmodułu $N\subseteq Q\subseteq P$ zachodzi

$(P/N)/(Q/N)\simeq P/Q.$

• Istnieje kanoniczna odpowiedniość pomiędzy klasą izomorfizmów monomorfizmów w $M$ a klasą izomorfizmów epimorfizmów z $M;$ monomorfizm $I\colon N\to M$ odpowiada modułowi ilorazowemu $M/i(N),$ a epimorfizm $P\colon M\to Q$ odpowiada podmodułowi $\ker P.$
• Jeżeli moduł jest skończenie generowany lub ma skończoną długość, to taki jest też jego dowolny moduł ilorazowy.
• Jeżeli $B$ jest $A$-algebrą (łączną, z jedynką), to

  $B\otimes _{A}(M/N)\simeq (B\otimes _{A}M)/U,$

gdzie $U$ jest obrazem $B\otimes _{A}N$ w $B\otimes _{A}M.$

• Jeżeli $I$ jest (obustronnym) ideałem w $A,$ to moduł ilorazowy $A/I$ jest tym samym co pierścień ilorazowy $A/I.$