Rozkład Fishera-Tippetta

Rozkład Fishera-Tippetta – rozkład zmiennej losowej służący do wyznaczania ekstremalnych wartości zmiennej losowej w pewnym przedziale czasu. Większość losowych zjawisk naturalnych (takich jak temperatura otoczenia, prędkość wiatru) daje się dobrze opisywać tym rozkładem.

Rozkład Fishera-Tippetta

Gęstość prawdopodobieństwa Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu dla różnych wartości parametrów $\lambda$ i $\beta$
Dystrybuanta Dystrybuanta rozkładu dla różnych wartości parametrów $\lambda$ i $\beta$
Parametry	$\lambda$ parametr położenia (liczba rzeczywista) $\beta >0$ parametr skali (liczba rzeczywista)
Nośnik	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\frac {z\,\exp(-z)}{\beta }}$ gdzie $z=\exp \left[-{\frac {x-\lambda }{\beta }}\right]$
Dystrybuanta	$\exp(-\exp[-(x-\lambda )/\beta ])$
Wartość oczekiwana (średnia)	$\lambda +\beta \,\gamma$
Mediana	$\lambda -\beta \,\ln(\ln(2))$
Moda	$\lambda$
Wariancja	${\frac {\pi ^{2}}{6}}\,\beta ^{2}$
Współczynnik skośności	${\frac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1{,}14$
Kurtoza	${\frac {12}{5}}$
Funkcja tworząca momenty	$\Gamma (1-\beta \,t)\,\exp(\lambda \,t)$
Funkcja charakterystyczna	$\Gamma (1-i\,\beta \,t)\,\exp(i\,\lambda \,t)$

Rozkład Gumbela jest szczególnym przypadkiem rozkładu Fishera-Tippetta, dla:

$\lambda =0,\beta =1$