Rozkład macierzy

Do wielu zastosowań (zarówno numerycznych, jak i teoretycznych) warto przedstawić daną macierz w postaci iloczynu kilku macierzy o określonych własnościach. Niektóre z poniższych rozkładów uogólniają się na operatory liniowe.

Diagonalizacja

Diagonalizacja to przedstawienie macierzy $A$ w postaci diagonalnej, czyli

$A=PDP^{-1},$

gdzie:

$D$ – macierz diagonalna składająca się z wartości własnych,

$P$ – macierz odwracalna składająca się z wektorów własnych odpowiadających kolejnym wartościom własnym.

Diagonalizacja działa tylko dla niektórych macierzy kwadratowych (np. symetrycznych i hermitowskich).

Macierz, którą można zdiagonalizować nazywamy macierzą diagonalizowalną.

Rozkład Jordana

Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy $A$ w postaci Jordana, czyli

$A=PDP^{-1},$

gdzie:

$D$ – macierz składająca się z klatek Jordana odpowiadającym kolejnym wartościom własnym,

$P$ – macierz odwracalna; zawiera jeden wektor własny dla każdej klatki Jordana.

Jeśli macierz $A$ jest diagonalizowalna, to jej postać Jordana jest równa postaci diagonalnej.

Rozkład wartości osobliwych

Rozkład wartości osobliwych (nad $\mathbb {R}$) to przedstawienie macierzy $A$ w postaci

$A=U\Sigma V^{T},$

gdzie:

$\Sigma$ – macierz diagonalna zawierająca kolejne wartości osobliwe,

$U$ i $V$ – macierze ortogonalne.

Rozkład wartości osobliwych macierzy symetrycznej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.

Jeśli mamy do czynienia z macierzą nad ciałem liczb zespolonych $\mathbb {C} ,$ to

$A=U\Sigma V^{*},$

gdzie:

$\Sigma$ – macierz diagonalna zawierająca kolejne wartości osobliwe,

$U$ i $V$ – macierze unitarne.

Zaś rozkład wartości osobliwych macierzy hermitowskiej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.

Rozkład LU

Rozkład LU to przedstawienie macierzy $A$ w postaci

$A=LU,$

gdzie:

$L$ – dolna macierz trójkątna,

$U$ – górna macierz trójkątna.

Rozkład Choleskiego

Rozkład Choleskiego (nad $\mathbb {R}$) to przedstawienie dodatniej macierzy symetrycznej $A$ w postaci

$A=LL^{T},$

gdzie:

$L$ – dolna macierz trójkątna.

Rozkład Choleskiego (nad $\mathbb {C}$) to przedstawienie dodatniej macierzy hermitowskiej $A$ w postaci

$A=LL^{*},$

gdzie:

$L$ – dolna macierz trójkątna.

Rozkład biegunowy

Rozkład biegunowy to przedstawienie macierzy $A$ w postaci

$A=UR,$

gdzie:

$U$ – częściowa izometria,

$R$ – macierz dodatnio określona.

Zobacz też

• macierz transponowana
• sprzężenie hermitowskie