Wahadło podwójne

Wahadło podwójne utworzone jest z wahadła z doczepionym do jego końca drugim wahadłem. Ten prosty układ fizyczne wykazuje bogate zachowanie dynamiczne z silną wrażliwością na warunki początkowe, tzn. jest to układ chaotyczny. Ruch wahadła podwójnego opisuje się układem sprzężonych równań różniczkowych zwyczajnych.

Analiza i interpretacja

Wahadło podwójne złożone jest z dwóch wahadeł.

Można rozważyć kilka wariantów podwójnego wahadła: wahadła mogą mieć równe lub nierówne długości i masy, mogą być wahadłami matematycznymi (prostymi) lub wahadłami fizycznymi, ruch wahadeł może odbywać się w trzech wymiarach lub ograniczać się do płaszczyzny pionowej. W poniższej analizie przyjmuje się, że mamy identyczne wahadła zbudowane z ważkich prętów o długości l i masie m, a ruch jest ograniczony do dwóch wymiarów.

Wahadło fizyczne podwójne.

W takim wahadle złożonym masa jest rozłożona wzdłuż długości prętów; środek masy każdego pręta znajduje się w jego punkcie środkowym; moment bezwładności każdego pręta liczony względem jego środka wynosi $I={\frac {1}{12}}ml^{2}$.

Do zapisu równań ruchu wygodnie jest posłużyć się kątami $\theta _{1},\theta _{2}$, jakie tworzą wahadła z pionem (są to współrzędne uogólnione, które definiują przestrzeń konfiguracyjną układu. Położenie środka masy każdego pręta wyrazimy w tych współrzędnych. Jeżeli za początek układu kartezjańskiego przyjmiemy punkt mocowania pierwszego wahadła, to jego środek masy ma współrzędne:

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {l}{2}}\sin \theta _{1},\\y_{1}&=-{\frac {l}{2}}\cos \theta _{1},\end{aligned}}$

a środek masy drugiego wahadła ma współrzędne:

${\begin{aligned}x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right),\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right.)\end{aligned}}$

Teraz można zapisać Lagrangian układu.

Lagrangian

Lagrangian ma postać:

${\begin{aligned}L&={\text{energia kinetyczna}}-{\text{energia potentiala}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}$

Pierwszy wyraz przedstawia energię kinetyczną środków masy obu prętów, drugi przedstawia energię ruchu obrotowego każdego z prętów wokół ich środków masy. Ostatni wyraz - to energia potencjalna prętów w polu grawitacyjnym. Kropki nad symbolami oznaczają pochodne względem czasu rozpatrywanych tu zmiennych.

Korzystając z reguły łańcuchowej różniczkowania funkcji złożonych oraz z tożsamości trygonometrycznych otrzymamy:

Ruch wahadła fizycznego podwójnego (otrzymany za pomocą całkowania numerycznego równań ruchu).

${\dot {x}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {l}{2}}\cos \theta _{1}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {x}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}\left({\tfrac {l^{2}}{4}}\cos ^{2}\theta _{1}\right)$

${\dot {y}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {l}{2}}\sin \theta _{1}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {y}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}\left({\tfrac {l^{2}}{4}}\sin ^{2}\theta _{1}\right)$

${\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {y}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}{\tfrac {l^{2}}{4}}\left(\cos ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{1}\right)={\tfrac {l^{2}}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2}$

oraz

${\dot {x}}_{2}=l\left({\dot {\theta }}_{1}\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{2}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {x}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos ^{2}\theta _{2}\right)$

${\dot {y}}_{2}=l\left({\dot {\theta }}_{1}\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{2}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {y}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}\right)$

${\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {y}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos ^{2}\theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)$

$=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right).$

Podstawiając powyższe wyrażenia i zmieniając kolejność wyrazów otrzymamy

$L={\tfrac {ml^{2}}{2}}\left({\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+{\tfrac {ml^{2}}{24}}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)$

$={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mgl\left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).$

Tylko energia jest wielkością zachowaną, moment pędu nie jest zachowany. Dwa uogólnione pędy można zapisać następująco:

${\begin{aligned}p_{\theta _{1}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)\\p_{\theta _{2}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right).\end{aligned}}$

Wyrażenia powyższe można odwrócić i otrzymamy:

${\begin{aligned}{{\dot {\theta }}_{1}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}\\{{\dot {\theta }}_{2}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.\end{aligned}}$

Pozostałe równania ruchu mają postać:

${\begin{aligned}{{\dot {p}}_{\theta _{1}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{l}}\sin \theta _{1}\right)\\{{\dot {p}}_{\theta _{2}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left(-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{l}}\sin \theta _{2}\right).\end{aligned}}$

Cztery ostatnie równania pokazują w sposób jawny ewolucję układu w czasie. Nie jest możliwe scałkowanie tych równań tak, by dostać $\theta _{1},\theta _{2}$ w funkcji czasu. Jednak jest możliwe dokonanie całkowania numerycznego tych równań za pomocą np. metody Runge Kutta.

Ruch chaotyczny

Wykres czasów, w jakich wahadło dokonuje całego obrotu w zależności od warunków początkowych.

Długoczasowa ekspozycja wahadła podwójnego wskazuje na jego ruch chaotyczny (tor utrwalony za pomocą diod LED)

Wahadło podwójne podlega ruchowi chaotycznemu i wykazuje dużą zależność ruchu od niewielkich zmian warunków początkowych. Wykres po prawej stronie przedstawia zależność czasu, jaki upłynął zanim wahadło odwróciło się, w zależności od ę położenia początkowego, w którym wahadło spoczywało. Tutaj wartość początkowa $\theta _{1}$ zmienia się wzdłuż osi poziomej od −3.14 to 3.14. Wartość początkowa $\theta _{2}$ zmienia się wzdłuż osi pionowej od −3.14 to 3.14. Kolor każdego piksela wskazuje ile razy dłuższy czas upłynął, by wahadło wykonało pełny obrót względem czasu minimalnego $t_{min}={\sqrt {\tfrac {l}{g}}}:$

• czarny: $\quad 1$
• czerwony: $10$
• zielony: $\quad 100$
• niebieski: $\,\,1000$
• fiolet: $\quad \quad 10000$
• biały: $\quad \quad >10000$

Trzy podwójne wahadła z bliskimi warunkami początkowymi szybko rozbiegają się, wskazując na chaotyczny charakter ruchu układu.

Brzeg białego obszaru jest określony częściowo z zasady zachowania energii krzywą o równaniu

$3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.$

Wewnątrz tego obszaru, danego nierównością

$3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,$

jest niemożliwy obrót żadnego z wahadeł. Na zewnątrz tego obszaru wahadło może obrócić się, ale trudno określić, kiedy to nastąpi. Podobne zachowanie obserwuje się dla wahadła podwójnego złożonego z dwóch punktowych mas (zamiast z dwóch prętów).

Brak naturalnej częstotliwości wzbudzeń wykorzystuje się w układach tłumienia w budynkach, gdzie budynek pełni rolę wahadła odwróconego, a druga masa, dołączona do niego, tworzy z budynkiem wahadło podwójne.

Zobacz też

przyrządy będące wahadłami

• wahadło balistyczne
• wahadło Newtona
• wahadło Oberbecka
• wahadło radiestezyjne
• wahadło rewersyjne
• wahadło zegarowe

wahadła

• wahadło matematyczne
• wahadło sprężynowe
• wahadło torsyjne

Inne

• oscylator harmoniczny
• kwantowy oscylator harmoniczny
• oscylator anharmoniczny
• tautochrona (fizyka)

Całkowanie numeryczne równań ruchu

• metody Rungego-Kutty

Bibliografia

• Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contains details of the complicated equations involved) and "Double Pendulum" by Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project, 2007 (animations of those equations).

• Peter Lynch Double Pendulum, (2001). (Java applet simulation.)

• Northwestern University, Double Pendulum
• Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, Double pendulum, (2005).