Ciąg Eulera

ciąg liczb naturalnych opisany pewną funkcją kwadratową

Ciąg Euleraciąg liczb naturalnych zdefiniowany funkcją kwadratową:

Ciąg ten nazwano na cześć Leonharda Eulera.

Pierwszych 40 wyrazów tego ciągu jest liczbami pierwszymi i odkrycie tego ciągu było w czasach Eulera wyczynem – niełatwo było uzyskać tyle wartości pierwszych z rzędu bez komputera. Jednak dla otrzymujemy liczbę złożoną. Ogólniej, jest podzielne przez 41 dla każdego dającego z dzielenia przez 41 resztę 0 lub 1. Zatem dla takich naturalnych liczba jest zawsze złożona, z wyjątkiem równego 0 lub 1. Jasno widać to z równości:

Podobnie, 43 jest dzielnikiem dla każdego dającego resztę 42 (czyli −1) z dzielenia przez 43 itd.

Pewne wyrazy złożone

edytuj

Niech   Wtedy, dla   całkowitego:

 

gdzie   więc oba czynniki rozłożenia są   Otrzymaliśmy więc rozkład właściwy, pokazujący, że   jest liczbą złożoną. Co więcej, dla każdego rozkładu

 

dostajemy dwie nieskończone serie – jedną dla   drugą dla   (ale wypiszemy ją tylko dla  ):

 

czyli

 

Biorąc pod uwagę oba parametry   i   otrzymujemy  -parametrową rodzinę rozkładów.

Przykład

Niech na przykład   Wtedy   więc: