Egzotyczny R4

Egzotyczny $\mathbb {R} ^{4}$ – właściwość czterowymiarowego układu Euklidesowego $\mathbb {R} ^{4},$ który dopuszcza kontinuum rozmaitości różniczkowalnych, które są z nim homeomorficzne (mówiąc kolokwialnie „zachowują kształt”), lecz nie są z nim dyfeomorficzne (mówiąc kolokwialnie „pochodna się gubi”). Rozmaitości takie nazywa się egzotycznymi.

W wymiarach innych niż 4 rozmaitości egzotyczne do układu Euklidesowego nie istnieją.

Pierwsze przykłady egzotycznych rozmaitości $\mathbb {R} ^{4}$ odnalazł Michael Freedman i inni w 1982 roku, wykorzystując kontrast pomiędzy twierdzeniem Freedmana o topologicznych 4-rozmiatościach, a twierdzeniem Simona Donaldsona o 4-rozmiatościach gładkich (różniczkowalnych).

Rodzaje

Egzotyczna rozmaitość $\mathbb {R} ^{4}$ jest nazywana małą, jeżeli jest dyfeomorficzna z otwartym podzbiorem standardowego układu Euklidesowego $\mathbb {R} ^{4}.$ W przeciwnym wypadku jest nazywana dużą.