Continuum (teoria mnogości)

moc zbioru liczb rzeczywistych

Continuummoc zbioru liczb rzeczywistych, oznaczana zwykle symbolem [1].

Historia

edytuj

W roku 1874 Georg Cantor udowodnił, że nie istnieje funkcja zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb rzeczywistych[2], co oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych jest liczniejszy niż zbiór liczb naturalnych; w związku z tym nie jest on przeliczalny. Popularnym sposobem dowodzenia tego faktu jest pochodząca również od Cantora[3] metoda przekątniowa.

Continuum dotyczy także twierdzenie mówiące, że zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych   tzn.

 

Przykłady

edytuj

Hipoteza continuum

edytuj
Osobny artykuł: hipoteza continuum.
Zobacz też: skala alefówskala betów.

Hipoteza continuum, czyli pytanie o to, czy   jest najmniejszą nieprzeliczalną liczbą kardynalną, stało się katalizatorem rozwoju teorii mnogości w początkach XX wieku. Sam problem został rozwiązany częściowo w 1939 roku przez Kurta Gödla[4] i ostatecznie w 1964 przez Paula Cohena[5][6].

Jedną z konsekwencji aksjomatu wyboru jest fakt mówiący o tym, że zbioru liczb rzeczywistych nie można przedstawić w postaci sumy przeliczalnie wielu zbiorów mocy mniejszej niż   – innymi słowy, kofinalność   jest nieprzeliczalna. Nieprzeliczalna kofinalność liczby kardynalnej   jest więc warunkiem koniecznym na to, by   „mogła być równa” continuum. Robert M. Solovay udowodnił w istocie, że jest to również warunek wystarczający – dokładniej, pokazał on, że jeżeli teoria mnogości ZFC jest niesprzeczna, to dla pewnego przeliczalnego modelu ZFC, w którym   jest liczbą kardynalną o nieprzeliczalnej kofinalności, istnieje rozszerzenie generyczne w którym liczby kardynalne z modelu wyjściowego się nie kolapsują oraz   Solovay wyszedł od przeliczalnego modelu ZFC + GCH do którego dodał   liczb losowych (  jest liczbą kardynalną o nieprzeliczalnej kofinalności)[7].

Przypisy

edytuj
  1. continuum, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02].
  2. Georg Cantor. Über eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen. „Journal für die Reine und Angewandte Mathematik”. 77, s. 258–262, 1874. [dostęp 2010-01-15]. 
  3. Georg Cantor. Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre. „Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung”. 1, s. 75–78, 1891. 
  4. K. Gödel: Consistency-proof for the generalized continuum-hypothesis. „Proc. nat. Acad. Sci. USA” 25 (1939), s. 220–224.
  5. P. Cohen: The independence of the continuum hypothesis. „Proc. nat. Acad. Sci. USA.” 50 (1963), s. 1143–1148.
  6. P. Cohen: The independence of the continuum hypothesis. II. „Proc. nat. Acad. Sci. USA.” 51 (1964), s. 105–110.
  7. R.M. Solovay: 20 can be anything it ought to be, The Theory of Models (J. W. Addison, L. Henkin, and A. Tarski, eds.), North-Holland, 1964, s. 435.