Otwórz menu główne

Przestrzeń topologiczna

Przestrzeń topologicznazbiór wraz z wyróżnioną rodziną podzbiorów tego zbioru spełniających odpowiednie własności zwane aksjomatami topologii. Rodzina nazywana jest topologią na zbiorze a jej elementy nazywane są zbiorami otwartymi w Dopełnienia zbiorów otwartych nazywane są zbiorami domkniętymi. W niepustym zbiorze można wyróżnić wiele różnych topologii.

Przestrzeń topologiczna jest metryzowalna, gdy istnieje taka metryka na że każdy niepusty zbiór otwarty w można przedstawić jako sumę pewnej rodziny kul otwartych względem metryki Nie wszystkie przestrzenie topologiczne są jednak metryzowalne – stąd pojęcie przestrzeni topologicznej jest ogólniejsze od pojęcia przestrzeni metrycznej. Intuicyjnie pojęcie topologii umożliwia określenie, czy dany punkt przestrzeni „styka się” z danym podzbiorem lub jest od niego „odizolowany”, czy leży w jego „wnętrzu” lub na „obrzeżach”.

Przestrzenie topologiczne pojawiają się w wielu dziedzinach matematyki takich jak analiza matematyczna, teoria porządków (zob. topologia porządkowa) czy geometria algebraiczna (zob. topologia Zariskiego). Pojęcie topologii jest podstawowym pojęciem topologii ogólnej.

MotywacjaEdytuj

 
Niezmienniki przestrzeni topologicznych to własności zachowujące się mimo przekształceń homeomorficznych, tj. bez rozrywania i sklejania: kubek i torus są homeomorficzne – można przekształcić jeden w drugi.

Wiele własności obiektów rozważanych w analizie matematycznej można scharakteryzować za pomocą zbiorów otwartych. Na przykład:

1) Ogólna definicja ciągłości funkcji wymaga odwołania się do zbiorów otwartych, np. funkcja   jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz   dowolnego otwartego zbioru   jest otwarty.

2) W przestrzeni metrycznej kulę otwartą   definiuje się jako zbiór punktów odległych od danego punktu   o mniej niż zadana odległość   Zbiory otwarte definiuje się wtedy jako sumy (również nieprzeliczalne) takich kul. Np. kulami otwartymi na prostej są przedziały otwarte, np. (2, 7), zaś zbiorami otwartymi – ich sumy. Podzbiory otwarte prostej rzeczywistej mają szereg ważnych własności, m.in.

  • cała prosta jest zbiorem otwartym,
  • część wspólna skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
  • suma przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
  • w szczególności otwarty jest też zbiór pusty, gdyż jest sumą pustej rodziny zbiorów otwartych.

Powyższe własności zbiorów otwartych prostej   łatwo uogólniono na dowolne przestrzenie metryczne.

Okazało się, że niekiedy użyteczniejsza jest sama struktura zbiorów otwartych, a nie metryka, którą zakładano w definicji zbiorów otwartych. Przestrzeń topologiczna stanowi właśnie uogólnienie przestrzeni metrycznej w tym duchu:

Przestrzeń topologiczna jest to przestrzeń z zadanymi z góry zbiorami otwartymi, a przyjęte własności rodziny zbiorów otwartych to niezbędne minimum do budowy nietrywialnej, a zarazem spójnej teorii.

Najbardziej interesujące są niezmienniki, czyli własności przestrzeni topologicznych zachowywane przez pewną klasę przekształceń tych przestrzeni; własności te umożliwiają klasyfikację przestrzeni topologicznych. Podstawowym rodzajem przekształcenia topologicznego jest homeomorfizm, który intuicyjnie może rozciągać, ściskać, skręcać przestrzeń, ale nie może jej rozrywać ani sklejać. Niezmienniki homeomorfizmów nazywa się niezmiennikami topologicznymi, dlatego przestrzenie między którymi istnieje homeomorfizm, są topologicznie równoważne lub homeomorficzne; z kolei jeśli między dwiema przestrzeniami nie można wskazać homeomorfizmu, uważa się je za topologicznie odróżnialne lub odmienne. Aby wykazać, że dwie przestrzenie są różne z punktu widzenia topologii wystarczy wskazać niezmiennik jednej z nich, którego druga nie ma. Do niezmienników topologicznych należą m.in. zwartość, ośrodkowość i spójność (lecz nie zupełność, która jest niezmiennikiem metrycznym), czy różne aksjomaty oddzielania. Są one obiektem badań topologii ogólnej.

Innym ważnym przekształceniem przestrzeni topologicznych jest słabsza od homeomorfizmu homotopia wskazująca homotopijną równoważność dwóch przestrzeni, przykładami niezmienników jest np. drogowa spójność, jednospójność, izomorficzność (singularnych) grup homologii i grup kohomologii, czy izomorficzność grup podstawowych i wyższych grup homotopii jednospójnych przestrzeni topologicznych. Ich badaniem zajmuje się przede wszystkim topologia algebraiczna.

Aksjomaty topologiiEdytuj

 
Cztery przykłady i dwa kontrprzykłady topologii utworzonych na zbiorze o trzech elementach {1,2,3}. U dołu pokazano zbiory podzbiorów, które nie są topologiami: z lewej brakuje sumy podzbiorów {2} i {3} [tj. {2,3}], z prawej zaś brakuje części wspólnej podzbiorów {1,2} i {2,3} [tj. {2}].

Niech dany będzie zbiór   i niech   będzie rodziną podzbiorów zawartych w   spełniającą następujące warunki[1]:

  • (1) zbiór   oraz zbiór pusty należą do  
 
  • (2) część wspólna dowolnych dwóch zbiorów należących do   także należy do  
 
  • (3) suma dowolnej, nawet nieskończonej liczby zbiorów należących do   także należy do  
 

Rodzinę   nazywa się topologią na zbiorze X lub rodziną zbiorów otwartych.

Elementy rodziny   nazywa się zbiorami otwartymi, ich dopełnienia do zbioru  zbiorami domkniętymi.

Zbiory, które są jednocześnie otwarte i domknięte, nazywa się zbiorami otwarto-domkniętymi. Takimi zbiorami są zbiór   oraz zbiór pusty.

Parę uporządkowaną (   ) składającą się ze zbioru   oraz topologii   na nim określonej nazywa się przestrzenią topologiczną.

Uwagi:

A) Warunek (2) definiujący rodzinę   implikuje, że do   należą dowolne skończone iloczyny zbiorów należących do topologii. Nie można rozszerzyć tego warunku na nieskończone iloczyny, gdyż iloczyny takie mogą dać zbiory np. jednostronnie lub dwustronnie domknięte: 

B) Z drugiej strony ograniczenie warunku (3) na skończone operacje uniemożliwiłoby np. poprawne zdefiniowanie wnętrza zbioru.

C) To razem pokazuje, że skuteczność aksjomatyki rodziny zbiorów otwartych wynika z pewnej „asymetrii” aksjomatów.

PojęciaEdytuj

Osobne artykuły: wnętrze, domknięciebrzeg.

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna   Wnętrzem  [a] zbioru   nazywa się największy (w sensie zawierania) zbiór otwarty zawarty w   z kolei domknięcie  [a] zbioru   to najmniejszy (w sensie zawierania) zbiór domknięty zawierający zbiór   tzn.

 

oraz

 

Brzegiem   (oznaczanym też  )[a] zbioru   nazywa się różnicę domknięcia i wnętrza tego zbioru (dopełnienie wnętrza względem domknięcia zbioru), tj.

 

Operacje wnętrza, domknięcia i brzegu są idempotentne. Ponadto operacje wnętrza i domknięcia są do siebie dualne w następującym sensie:

  • dopełnienie domknięcia jest wnętrzem dopełnienia,
     
  • dopełnienie wnętrza jest domknięciem dopełnienia,
     
  • zbiór   jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy  
  • zbiór   jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy  

gdzie   oznacza dopełnienie zbioru   (względem  ).

PrzykładyEdytuj

W dowolnym zbiorze   można wprowadzić wiele różnych topologii, np.:

  • topologia antydyskretna, w której jedynymi zbiorami otwartymi są zbiór pusty i cała przestrzeń  
  • topologia dyskretna, w której wszystkie podzbiory zbioru   są otwarte, czyli topologią jest zbiór potęgowy zbioru  
  • niech   jest zbiorem nieskończonym, niech   oznacza moc zbioru   niech   (czyt. alef zero) oznacza najmniejszą z mocy zbiorów nieskończonych (równą mocy zbioru liczb naturalnych); podane niżej rodziny podzbiorów zbioru   są topologiami:
    • topologia dopełnień skończonych, w której zbiorami otwartymi są te zbiory, których dopełnienie jest skończone,
       
    • topologia dopełnień przeliczalnych, w której zbiorami otwartymi są te zbiory, których dopełnienie jest przeliczalne,
       
    • topologia zbiorów skończonych, do których nie należy wyróżniony punkt  
       

Topologie często używane jako kontrprzykłady na stawiane przez matematyków hipotezy, np. miotełka Knastera-Kuratowskiego, płaszczyzna Niemyckiego, prosta Sorgenfreya, przestrzeń Apperta, rogata sfera Alexandera. Opis nietypowych topologii można znaleźć w monografii Steena i Seebacha[2].

Sposoby wprowadzania topologiiEdytuj

Oprócz podanej w sekcji Aksjomaty przestrzeni topologicznej metody definiowania topologii istnieją inne, równoważne metody jej wprowadzania. Oto kilka z nich.

Rodzina zbiorów domkniętychEdytuj

Niech rodzina   podzbiorów   spełnia warunki:

  1.  
  2. suma skończenie wielu zbiorów z   należy do  
  3. część wspólna dowolnej mnogości zbiorów z   należy do  

Istnieje wówczas jedyna topologia   zbiorów otwartych na   taka, że jej zbiory są dopełnieniami zbiorów rodziny   W związku z tym   nazywana jest rodziną zbiorów domkniętych.

Uwaga

Elementy należące do   nazwane są tutaj zbiorami domkniętymi i są one dopełnieniami zbiorów zdefiniowanych aksjomatyką zbiorów otwartych. Aksjomatyka zbiorów domkniętych jest w gruncie rzeczy zastosowaniem praw De Morgana do aksjomatyki zbiorów otwartych, dlatego dopełnienie nieskończonej sumy zbiorów otwartych „zamienia się” w nieskończony iloczyn ich dopełnień, a dopełnienie skończonego iloczynu zbiorów otwartych „zamienia się” w skończone dodawanie ich dopełnień.

Operacja wnętrzaEdytuj

Niech będzie ustalona funkcja   spełniająca dla dowolnych   następujące warunki:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
Twierdzenie Kuratowskiego
  • rodzina   jest topologią na  
  •   dla dowolnego  

Funkcję   nazywa się operacją wnętrza dla topologii   (lub operacją Kuratowskiego).

Operacja domknięciaEdytuj

Niech będzie ustalona funkcja   spełniająca dla dowolnych   następujące warunki:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
Twierdzenie Kuratowskiego
  • rodzina   jest topologią na  
  •   dla dowolnego  

Funkcję   nazywa się operacją domknięcia dla topologii  

Bazy topologiiEdytuj

Niech rodzina   podzbiorów zbioru   spełnia warunki:

  1. jeśli   oraz   to można znaleźć   taki że  
  2. dla każdego   można znaleźć   takie że  

Istnieje wówczas (jedyna) topologia   na   taka, że rodzina   jest bazą tej topologii.

Przykładowo, jeśli   jest zbiorem wszystkich ideałów pierwszych   pierścienia   to w   można określić topologię, której bazą jest zbiór

  gdzie  

Innym przykładem może być przestrzeń topologiczna   z bazą

  gdzie  

Baza otoczeńEdytuj

Niech   jest rodziną podzbiorów zbioru   taką, że:

  1. dla każdego     i dla każdego   mamy  
  2. jeśli     to istnieje   takie, że  
  3. dla każdych     można znaleźć   takie, że  

Niech   będzie rodziną wszystkich podzbiorów   które mogą być przedstawione jako sumy podrodzin rodziny   Wówczas   jest topologią na   i   jest systemem (bazą) otoczeń otwartych dla tej topologii.

Porównywanie topologiiEdytuj

W danym zbiorze można określić wiele topologii; jeżeli każdy zbiór otwarty w sensie topologii (tzn. element rodziny)   należy również do   to mówi się, że   jest mocniejsza od   a topologia   jest słabsza od  

Rodzina   wszystkich topologii na danym zbiorze   tworzy kratę zupełną z działaniami

  •  
  •  

dla  

Krata ta na ogół nie jest komplementarna.

Konstrukcje topologiczneEdytuj

Każdy podzbiór przestrzeni topologicznej można wyposażyć w topologię podprzestrzeni, w której zbiory otwarte są przekrojami zbiorów otwartych przestrzeni z danym podzbiorem. Dla dowolnej rodziny indeksowanej przestrzeni topologicznych ich produkt może być wyposażony w topologię produktową, która jest generowana przez przeciwobrazy zbiorów otwartych czynników w przekształceniach rzutów. Przykładowo, w produktach skończonych, baza topologii produktowej składa się ze wszystkich produktów zbiorów otwartych. Dla produktów nieskończonych istnieje dodatkowy warunek, iż w zbiorze otwartym z bazy wszystkie poza skończenie wieloma z jego rzutów są całą przestrzenią.

Przestrzeń ilorazowa zdefiniowana jest następująco: jeśli   jest przestrzenią topologiczną, zaś   jest dowolnym zbiorem, a   jest funkcją suriektywną, to topologią ilorazową na   jest rodzina podzbiorów   które mają otwarte przeciwobrazy w   Innymi słowy topologia ilorazowa jest najbogatszą topologią na   w której   jest ciągłe. Popularnym przykładem topologii ilorazowej jest zdefiniowanie relacji równoważności na przestrzeni topologicznej   Wówczas przekształcenie   jest naturalnym rzutem na zbiór klas abstrakcji.

Topologia Vietorisa na zbiorze wszystkich niepustych podzbiorów przestrzeni topologicznej   nosząca nazwisko Leopolda Vietorisa, jest generowana przez następującą bazę: dla każdej  -tki   zbiorów otwartych w   konstruuje się bazę składającą się ze wszystkich podzbiorów sumy   które mają niepuste przecięcie z każdym  

Struktury algebraiczneEdytuj

Dla dowolnego obiektu algebraicznego można wprowadzić topologię dyskretną, w której działania algebraiczne są funkcjami ciągłymi. W każdej takiej strukturze, która nie jest skończona, istnieje często topologia naturalna, zgodna z działaniami algebraicznymi w tym sensie, że dalej są one ciągłe. Prowadzi to do takich pojęć jak grupy topologiczne, przestrzenie liniowo-topologiczne, pierścienie topologiczne, czy ciała lokalne.

Podobne strukturyEdytuj

Następujące przestrzenie i algebry są przypadkami szczególnymi lub ogólnymi przedstawionych wyżej przestrzeni topologicznych:

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. a b c Oznaczenia         pochodzą od angielskich słów interior („wnętrze”), closure („domknięcie”) oraz border, frontier („granica”, tu: „brzeg”) bądź ich francuskich odpowiedników.

PrzypisyEdytuj

  1. Kołodziej Witold, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009, s. 71–72.
  2. Lynn Arthur Steen i J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, Nowy Jork, 1978. Przedruk: Dover Publications, Nowy Jork, 1995. ​ISBN 0-486-68735-X​ (wydanie Dover).

BibliografiaEdytuj

  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna, Warszawa: PWN, 1976.
  • Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 4, Warszawa: PWN, 1966.
  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna, Warszawa: PWN, 2009.
  • Handbook of set-theoretic topology. Red. Kenneth Kunen i Jerry E. Vaughan. Wyd. 1. Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1984.
  • Jun-iti Nagata: Modern General Topology. Wyd. 2 (poprawione). Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1985.

Linki zewnętrzneEdytuj